Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Rotação, Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

Parte I:

Uma esfera sólida uniforme de massa m e raio r é colocada no lado de dentro de uma bacia hemisférica de raio R . Existe atrito entre a esfera e a bacia. A esfera é liberada a partir do repouso fazendo um ângulo θ com a vertical, conforme ilustra a figura, e passa a rolar sem deslizar. A aceleração da gravidade é g .

a) Expresse a conservação da energia do sistema.

b) Determine o módulo da velocidade angular ω da esfera quando ela atinge a parte inferior da bacia.

Parte II:

As setas no desenho abaixo, indicam as forças de atrito correspondentes à três posições da esfera quando ela está rolando sem deslizar no sentido horário. Assinale qual das opções é a verdadeira.

Passo 1

Parte I

a)

Pela conservação da energia mecânica,

Δ E m = W n ã o - c o n s e r v a t i v a s

E a única força não-conservativa agindo na esfera é a força de atrito, no ponto de contato da esfera com a bacia. Aí que tem que ficar atento! Ele disse que a esfera rola sem deslizar, e isso significa que o ponto de contato da esfera com a bacia tem velocidade nula: o atrito é estático.

E um detalhe importante da força de atrito estático é que ela não realiza trabalho! Pro ponto que está em contato com a bacia, é como se a esfera estivesse parada, então não há trabalho.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto,

Δ E m = 0

A energia mecânica é a soma da energia cinética K com a energia potencial U .

Aqui temos um movimento de translação e de rotação, então temos que considerar a energia cinética de translação K t r a n s e a energia cinética de rotação K r o t .

E a energia potencial vai ser somente gravitacional, U g , não tem nenhum mola ou força elástica que gere energia potencial elástica.

Ou seja, a equação de conservação de energia do sistema é:

Δ K t r a n s + Δ K r o t + Δ U g = 0

Passo 3

b)

Ele quer a velocidade angular da esfera quando ela chega na parte de baixo da bacia. É claro que vamos usar a relação que acabamos de achar na letra (a)!

Δ K t r a n s + Δ K r o t + Δ U g = 0

Sendo i o momento inicial e f o momento final, isso dá:

⇒ 1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2 + 1 2 I ω f 2 - 1 2 I ω i 2 + m g h f - m g h i = 0

⇒ m 2 v f 2 - v i 2 + I 2 ω f 2 - ω i 2 + m g h f - h i = 0

Então o objetivo dessa questão é achar o ω f .

Passo 4

Vamos ver o que que dá pra ajeitar!

Primeiro, como a esfera parte do repouso, suas velocidades iniciais, escalar e angular, são nulas:

v i = 0   m / s

ω i = 0   r a d / s

Conforme a gente for achando os valores das variáveis, eu vou atualizando a nossa equação, beleza?

Então ficou:

m 2 v f 2 + I 2 ω f 2 + m g h f - h i = 0

Passo 5

Outra coisa: podemos usar a relação

v = ω r

Ou seja,

v f = ω f r

É uma boa, já que queremos achar ω f !

Então a nossa equação vai ser:

m 2 ω f 2 r 2 + I 2 ω f 2 + m g h f - h i = 0

Passo 6

O momento de inércia de uma esfera de massa m e raio r é:

I = 2 5 m r 2

Logo, a equação atualizada é:

m 2 ω f 2 r 2 + 1 2 ∙ 2 5 m r 2 ω f 2 + m g h f - h i = 0

⇒ m 2 ω f 2 r 2 + 1 5 m r 2 ω f 2 + m g h f - h i = 0

Passo 7

Agora vamos calcular a altura inicial h i da esfera em relação ao fundo da bacia. Pra isso vamos apelar pra uma trigonometria.

Observação: a altura diz respeito ao centro de massa da esfera, que fica bem no meio dela.

No momento que a esfera é liberada, temos a seguinte situação:

Logo,

cos ⁡ θ = R - h i R - r

⇒ R - h i = R - r cos ⁡ θ

⇒ h i = R - R - r cos ⁡ θ

Passo 8

Show! Então só falta a altura final h f . E ela vai ser simplesmente o raio da esfera, saca:

Passo 9

Ou seja,

h f - h i = r - R - R - r cos ⁡ θ

⇒ h f - h i = r - R + R - r cos ⁡ θ

⇒ h f - h i = r - R + - r - R cos ⁡ θ

⇒ h f - h i = r - R 1 - cos ⁡ θ

Passo 10

Ótimo! Então nossa equação da conservação da energia ficou:

m 2 ω f 2 r 2 + 1 5 m r 2 ω f 2 + m g r - R 1 - cos ⁡ θ = 0

Pronto! m , r , R , g e θ nós conhecemos, então a única variável desconhecida é ω f .

Agora é arregaçar as mangas e fazer as contas! Vamos ter:

1 2 + 1 5 m r 2 ω f 2 + m g r - R 1 - cos ⁡ θ = 0

⇒ 7 10 m r 2 ω f 2 + m g r - R 1 - cos ⁡ θ = 0

⇒ 7 10 m r 2 ω f 2 = - m g r - R 1 + cos ⁡ θ = m g R - r 1 - cos ⁡ θ

⇒ r 2 ω f 2 = 10 7 g R - r 1 - cos ⁡ θ

⇒ ω f 2 = 10 7 r 2 g R - r 1 - cos ⁡ θ

⇒ ω f = 10 7 r 2 g R - r 1 - cos ⁡ θ

Deu um valor bem bizarro mas é isso mesmo! :)

Passo 11

Parte II

Como já vimos láá atrás, a força de atrito entre a esfera e a bacia é de atrito estático, porque a esfera rola sem deslizar. A velocidade no ponto de contato entre a esfera e a bacia é nula.

Então temos que olhar pras figuras pensando nisso. Pra facilitar a visualização, a gente pode imaginar que a esfera está parada!

Passo 12

O chão no lado esquerdo da bacia é inclinado pra direita, então se a esfera estivesse lá parada, ela teria tendência a cair pra direita, então pra esfera se manter em repouso a força de atrito tem que ser pra esquerda:

A explicação mais formal seria dizer que a resultante das que atuam na esfera (peso e normal) aponta pra direita, então pra esfera estar em repouso a força de atrito tem que apontar pra esquerda.

Passo 13

Usando o mesmo raciocínio do outro lado, temos:

Passo 14

E no meio, lá embaixo da bacia, o chão é horizontal, então a força peso e a força normal se cancelam totalmente. Logo, pra esfera se manter em repouso, a força de atrito tem que ser nula:

Portanto, a alternativa correta é a letra (c)!

Resposta

Parte I:

a)

Δ K t r a n s + Δ K r o t + Δ U g = 0

b)

ω f = 10 7 r 2 g R - r 1 - cos ⁡ θ

Parte II:

Alternativa (c)

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