Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um cilindro maciço de comprimento L e raio R tem peso P. Duas cordas são enroladas em torno do cilindro, perto de cada borda, e as pontas das cordas são presas a ganchos no teto. O cilindro é mantido na horizontal com as duas cordas exatamente verticais e então é abandonado.

a) Faça o diagrama de forças sobre o cilindro.

b) Quais forças realizam trabalho durante a descida?

c) Calcule a tração em cada corda enquanto elas se desenrolam.

d) Calcule a aceleração linear do cilindro enquanto ele cai.

Passo 1

a)

Okay... temos um cilindo, ele gira pra um lado, desce pro outro... coisa de louco!

Mas vamos com calma, a letra a) pede o diagrama do corpo livre. Como esse cilindro é um objeto em três dimensões, vou fazer dois diagramas:

Repara que eu considerei que a tração nos dois cabos é a mesma. Se esse cilindro descer reto (sem inclinar) e a distância entre as cordas e o centro de massa for o mesmo, não tem jeito, tá tudo muito simétrico, logo as trações a gente considera como iguais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Se considerarmos que não há deslizamento entre a corda e o cilindro, podemos dizer que o atrito entre a corda e o cilindro é o atrito estático. O atrito estático não é capaz de realizar trabalho. Pensa comigo: trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento, se no ponto onde há atrito estático não há movimento, logo não há trabalho.

Agora, a força peso não têm essa. Ela atua ali no centro de massa e ele está se movimentando (para baixo).

Por isso, a força que realiza trabalho é a força peso e apenas ela.

Passo 3

c)

Para a gente calcular a tração em cada corda, precisamos analisar esse movimento pelas leis de newton e considera-lo como sendo um rolamento sem deslizamento.

Quando a gente considera isso, a gente de cara já fala que:

a c m = α R

Analisando a segunda lei de newton para translação conseguimos a aceleração do centro de massa ( a c m ) e a aceleração angular ( α ).

Segunda lei para translação:

Encontrando a resultante e aplicando a segunda lei de Newton:

P - 2 T = m a c m

m g - 2 T = m a c m

T = m g - a c m 2         ( 1 )

Segunda lei para rotação:

Vamos avaliar o torque resultante, em cima do nosso eixo de rotação (que é o centro de massa).

Como a força peso está aplicada bem no centro de massa, ela não realiza torque, só a força tração (das duas cordas). Vamos ter então:

2 T R = I α

O momento de inércia do cilindro maciço ao redor do seu centro de massa é I = M R 2 2

2 T R = m R 2 2 α

Substituindo a aceleração angular pela aceleração do centro de massa, naquela relação que eu falei no início desse Passo 2.

2 T R = m R 2 a c m 2 R    

T = m a c m 4               ( 2 )

Agora que encontramos as trações de duas formas, é só iguala-las.

m g - a c m 2 = m a c m 4

2 g - 2 a c m = a c m

a c m = 2 3 g

E finalmente, pra encontrar a tração, a gente substitui o valor da aceleração do centro de massa.

T = m 4 2 3 g

T = m 6 g

Passo 4

d)

Já encontramos né. A aceleração do centro de massa de um corpo que rola sem deslizar é a própria aceleração linear, afinal, o centro de massa não possui aceleração angular.

a = a c m = 2 3 g

Resposta

b)

Apenas a força peso realiza trabalho.

c)

T = m 6 g

d)

a = 2 3 g

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