Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Rotação, Forças e Leis de Newton, Dinâmica de Rotação, Trabalho e Energia Cinética

Um disco de massa M e raio R está em repouso sobre uma superfície plana, horizontal e com atrito. Num dado instante aplica-se no seu centro O uma força F → constante, cuja direção faz um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura. Sabe-se que o disco rola sem deslizar sobre a superfície e que o momento de inércia do disco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro é I = 1 2 M R 2 .

Considere a resistência do ar desprezível, e que a gravidade tem módulo g conhecido.

a) Faça um diagrama representando todas as forças que agem sobre o disco nos seus respectivos pontos de aplicação.

b) Determine o módulo da aceleração, a C M , do centro de massa do disco enquanto ele se desloca.

c) Determine o módulo e o sentido da força de atrito que atua sobre o disco.

d) Determine a energia cinética adquirida pelo disco no instante em que dá uma volta completa a partir do instante inicial.

Passo 1

a)

Vamos começar identificando as forças que atuam no disco!São:

  • seu peso P → , que age pra baixo e no centro do disco (centro de massa)
  • a força normal da superfície N → , que age pra cima, no ponto de contato do disco com a superfície
  • a força de atrito f → a t , que também atua no ponto de contato do disco com a superfície. Já a direção da força de atrito é um problema, por enquanto não tem como saber, por causa dessa mistura de rotação e translação. Vamos assumir que ela aponta pra esquerda e qualquer coisa depois a gente troca, beleza?
  • e claro, a F → , que age no centro do disco, fazendo um ângulo θ com a horizontal.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então o diagrama de forças é:

Passo 3

b)

Quando temos situações como essa, de rolamento sem deslizar e com várias forças atuando, temos que montar equações a partir da 2ª lei de Newton:

F → r e s = M a → C M   ⇔ F r e s = M a C M

e pra rotação:

τ → r e s = I α →   ⇔ τ r e s = I α

Passo 4

Mas a força F → não tá legal fazendo um ângulo θ com a horizontal. Por isso vamos decompô-la em uma componente paralela à superfície e uma componente ortogonal à superfície.

Com uma trigonometriazinha básica, obtemos a decomposição:

Passo 5

Agora sim podemos aplicar a 2ª lei de Newton!

Vamos focar primeiro no eixo paralelo à superfície. As forças atuando nesse eixo são F → cos ⁡ θ , pra direita, e f → a t , pra esquerda. Então, vamos ter:

F → cos ⁡ θ + f → a t = M a → C M

O disco se movimenta pra direita, então em módulo a equação fica:

F cos ⁡ θ - f a t = M a C M       ( 1 )

Vou ir numerando essas equações que a gente vai achar, que nem essa que eu chamei de ( 1 ) .

Passo 6

Agora vamos ver o que acontece no eixo perpendicular à superfície.

As forças atuando nesse eixo são N → e F → sen ⁡ θ , pra cima, e P → , pra baixo. E não há movimento nesse eixo, então essas forças se cancelam:

N → + F → sen ⁡ θ + P → = 0

Ou, em módulo:

N + F sen ⁡ θ - P = 0

E P = M g , então:

N + F sen ⁡ θ = M g       ( 2 )

Passo 7

Show, agora vamos analisar a rotação!

Repare que a única força que produz torque em relação ao eixo passando pelo centro de massa do disco é a força de atrito f → a t .

Pois é, a P → e a F → atuam diretamente no CM, enquanto o vetor posição da normal é paralelo a ela mesmo, então nenhuma dessas realiza torque!

Logo,

τ r e s = τ f a t

⇒ τ f a t = I α

Passo 8

A força de atrito atua a uma distância R do centro do disco, então o torque da força de atrito tem módulo

τ f a t = R ⋅ f a t

Logo,

R ⋅ f a t = I α       ( 3 )

Passo 9

E no rolamento sem deslizar, ainda temos a condição de vínculo a C M = α R .

Então junto isso tudo, obtemos o sistema:

F cos ⁡ θ - f a t = M a C M 1 N + F sen ⁡ θ = M g 2 R ⋅ f a t = I α 3 a C M = α R 4

Passo 10

Pela equação 4 , temos

α = a C M R

E pela equação ( 1 ) ,

f a t = F cos ⁡ θ - M a C M

Juntando esses valores na equação ( 3 ) , obtemos:

R F cos ⁡ θ - M a C M = I a C M R

Passo 11

Lembrando que I = 1 2 M R 2 , isso dá:

R F cos ⁡ θ - M a C M = 1 2 M R 2 a C M R = 1 2 M R a C M

Cortando R dos 2 lados:

F cos ⁡ θ - M a C M = 1 2 M a C M

⇒ F cos ⁡ θ = 3 2 M a C M

⇒ M a C M = 2 3 F cos ⁡ θ

⇒ a C M = 2 F 3 M cos ⁡ θ

Deu um bom trabalho, mas conseguimos achar a aceleração! :D

Passo 12

c)

Agora ficou fácil de achar a o módulo f a t da força de atrito, a gente já montou as equações todas!

Vimos que

f a t = F cos ⁡ θ - M a C M

Ou seja,

f a t = F cos ⁡ θ - M ∙ 2 F 3 M cos ⁡ θ

⇒ f a t = F cos ⁡ θ - 2 3 F cos ⁡ θ = 1 3 F cos ⁡ θ

Passo 13

Agora vamos ver se isso condiz com o sentido que a gente determinou antes pra força de atrito, pra esquerda.

Pela figura, podemos ver que

0 < θ < π 2

Logo,

cos ⁡ θ > 0

⇒ 1 3 F cos ⁡ θ = f a t > 0

Então módulo da força de atrito é positivo, e um módulo tem que ser que ser positivo mesmo né! Isso significa que o sentido que escolhemos pra força de atrito estava certo.

Passo 14

d)

Vamos aplicar o teorema trabalho-energia cinética! Ele diz que o trabalho total W t o t a l é igual à diferença de energia cinética Δ K :

W t o t a l = Δ K

Passo 15

Depois de uma volta completa, o deslocamento do centro de massa do disco é igual ao seu perímetro, ou seja 2 π R . Então o deslocamento que a gente tem que considerar na hora de calcular o trabalho é esse 2 π R .

Passo 16

Vejamos, as forças peso, normal e F → sen ⁡ θ   são perpendiculares ao movimento, então elas não realizam trabalho. E na verdade, a força de atrito também não, porque no rolamento sem deslizar, o atrito é estático (a velocidade do ponto de contato com o chão é nula). E o atrito estático não realiza trabalho: sem deslocamento não tem como haver trabalho!

Ou seja, a única força que realiza trabalho no disco é a força F → cos ⁡ θ :

W t o t a l = W F cos ⁡ θ

Passo 17

E a F → cos ⁡ θ é constante e aponta no sentido do movimento, então esse trabalho é:

W F cos ⁡ θ = f o r ç a ⋅ d e s l o c a m e n t o

W F cos ⁡ θ = F cos ⁡ θ ⋅ 2 π R

⇒ W t o t a l = 2 π R F cos ⁡ θ

Passo 18

Portanto, voltando pro teorema trabalho-energia cinética:

W t o t a l = Δ K

⇒ 2 π R F cos ⁡ θ = Δ K

A Δ K é a diferença da energia cinética K f (que a gente quer achar) e da energia cinética inicial K i . Mas o bloco parte do repouso, então K i = 0 . Logo, Δ K = K f .

Ótimo! Então a energia cinética final é:

K f = 2 π R F cos ⁡ θ

Resposta

a)

b)

a C M = 2 F 3 M cos ⁡ θ

c)

f a t = 1 3 F cos ⁡ θ

d)

K f = 2 π R F cos ⁡ θ

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