Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Rotação

Um cilindro homogêneo, de raio R e massa M , rola sem deslizar sobre um plano horizontal,

deslocando-se com velocidade v o , até alcançar um plano com inclinação θ , continuando a rolar sem deslizamento, descendo ao longo de um comprimento d até atingir um novo plano horizontal.

a) Qual o trabalho realizado no processo pela força peso?

b) Qual a velocidade do cilindro na base do plano inclinado?

c) Qual o coeficiente de atrito mínimo μ para que o cilindro desça o plano inclinado sem deslizar?

Dê suas respostas em termos de R , M , v o , θ , d . Dado: momento de inércia do cilindro I = M R 2 2 .

Passo 1

a)

O trabalho da força peso será dado por:

τ p e s o = M g ∆ h

Sendo o ∆ h a diferença de altura do plano inclinado, que nada mais nada menos é que ∆ h = d s e n θ . Assim, teremos:

τ p e s o = M g d s e n θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Pelo Teorema Trabalho-Variação da Energia Cinética, teremos:

∆ K = τ

Mas sabemos que a energia cinética pode ser dividia em energia cinética de rotação e de translação, logo:

K r o t F + K t r a n s F - K r o t 0 - K t r a n s 0 = τ

Como, K r o t = I ω 2 2   e   I = M R 2 2 ,   K R o t = M R 2 4 .

Ah, só mais uma coisa, lá do movimento circular a gente sabe que:

ω = v R

Logo:

K r o t = M v ² 4

M v f 2 2 + M v f 2 4 - M v 0 2 2 - M v 0 2 4 = M g d s e n θ

3 M 4 v f 2 - v o 2 = M g d s e n θ

3 4 v f ² = g d s e n θ + 3 4 v 0 ²

v f 2 = 4 3 g d s e n θ + v 0 2

v f = 4 3 g d s e n θ + v o ²

Passo 3

Para saber o coeficiente de atrito mínimo para manter o rolamento sem deslizamento, temos que achar o coeficiente de atrito estático máximo, ou seja, que o bloco não escorregue, só role. Assim a força de atrito pode ser calculada por f a t = μ . N .

Isolando as forças e decompondo a força peso como na figura, teremos:

Pela 2ª Lei de Newton, teremos:

P x = N = m g c o s θ

P y - f a t = m a

m g s e n θ - μ m g c o s θ = m a

a = g [ s e n θ - μ c o s θ ]

Passo 4

Usando as Leis de Newton para rotação, teremos:

f a t . R = I α = m R 2 2 . a R

μ m g c o s θ . R = m R 2 a

E substituindo a relação que achamos para a aceleração, vamos ter:

μ g c o s θ = g 2 [ s e n θ - μ c o s θ ]

2 μ c o s θ = s e n θ - μ c o s θ

3 μ c o s θ = s e n θ

Logo:

μ = t g θ 3

Resposta

  1. τ p e s o = M g d s e n θ
  2. v f = 4 3 g d s e n θ + v o ²
  3. μ = t g θ 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas