Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Rotação, Dinâmica de Rotação

Uma lata vazia de altura H , raio R e massa M , com tampa, parte do repouso e rola sem escorregar por um plano inclinado de angulo θ e comprimento L . Considere conhecido que o momento de inércia de um disco de massa m e raio r em relação à um eixo perpendicular que passa pelo seu centro é m r 2 2 .

a)Qual é o momento de inércia da lata, I , em relação ao seu eixo de simetria? O resultado deve ser dado como função de H ,   R   e   M . Considere a lata como sendo um cilindro com duas tampas, com densidade superficial homogênea.

b) Calcule a força de atrito sobre a lata em termos de R ,   M   e   I ;

c) Calcule a aceleração do centro de massa e a aceleração angular da lata;

d) Calcule velocidade angular da lata ao chegar ao final da rampa;

e) Qual o trabalho realizado pela força de atrito? Justifique.

Passo 1

a)

Temos um cilindro deitado de massa total M , como na figura abaixo:

Como a massa M é da borda+ tampa, teremos que calcular a massa de cada parte.

Como a lata é feita de um material só, podemos relacionar a massa com a área da lata.

Temos que:

A T o t a l = 2 A T a m p a + A L a t e r a l

A T a m p a = π R 2

A L a t e r a l = 2 π R H

E assim:

A T o t a l = 2 π R 2 + 2 π R H = 2 π R R + H

Pra saber só a massa da lateral, por regras de três simples, teremos:

M - - - - - - - - 2 π R R + H

M L a t e r a l - - - - - - - - 2 π R H

M L a t e r a l = M H R + H

Já a massa de uma tampa será:

M - - - - - - - - 2 π R R + H

M T a m p a - - - - - - - - - π R 2

M T a m p a = M R 2 R + H

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a gente calcula o Momento de Inércia. Na Tampa a gente viu que é m r 2 2 e no cilindro inteiro I = m r ² . Desta forma, substituindo as massas, teremos:

I T o t a l = M L a t e r a l . R ² + 2 M T a m p a R 2 2 = R ² [ M L a t e r a l + M T a m p a ]

I T o t a l = R 2 M H R + H + M R 2 R + H = M R 2 R + H . M + R 2

Passo 3

b)

Isolando as forças, teremos:

Pela Segunda Lei de Newton...

P x - F a t = M g s e n θ - F a t = M a

Isolando o a ...

g s e n θ - F a t M = a

E agora utilizando a mesma lei para a Rotação, vai ficar:

F a t R = I . α

Passo 4

Como α = a R , teremos:

F a t = I a R 2 = I R 2 g s e n θ - F a t M

Ah, agora é só um pouquinho de algebrismo:

F a t = I g s e n θ R 2 - I M R 2 F a t

F a t 1 + I M R 2 = I g s e n θ R 2

F a t = M I g s e n θ M R 2 + I = M g s e n θ M R 2 I + 1

Passo 5

c)

Voltando lá na primeira equação que encontramos no Passo 3 , teremos:

M g s e n θ - F a t = M a

Agora que a gente já sabe a F a t é só substituir:

M g s e n θ - M g s e n θ M R 2 I + 1 = M a

a = g s e n θ 1 - 1 M R 2 I + 1 = M R 2 g s e n θ I + M R 2

Passo 6

O α é molezinha demais, é só utilizar...

α = a R = M R 2 g s e n θ I + M R 2 R = M R g s e n θ I + M R 2

Passo 7

d)

Como ele parte do repouso podemos calcular a velocidade angular como

ω = α t = a t R

Além disso, utilizando as equações da cinemática, teremos:

L = S o +   v o t + a t 2 2

t = 2 L a

ω = 2 a L R = 2 L M g s e n θ I + M R 2

Passo 8

O trabalho da força de atrito é nulo, pois no rolamento sem deslizamento a força de atrito é estática e o ponto em que o cilindro toca a supercífie tem velocidade nula. :D

Resposta

a) I T o t a l = M R 2 R + H . M + R 2

b) F a t = M g s e n θ M R 2 I + 1

c) a = M R 2 g s e n θ I + M R 2   ,   α = M R g s e n θ I + M R 2

d) ω = 2 L M g s e n θ I + M R 2

e) W f a t = 0

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