(Capítulo 11.9 – Exercício 5) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 2 3 - x

Passo 1

Boraaaa matar mais uma questão

Temos uma função f ( x ) e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim

∑ c n . x - a n

Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função

E aí, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série de potências

Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou?

Passo 2

Temos a função

f x = 2 3 - x

Vamos reescrever a função dividindo o numerador e o denominador por 3 , tranquilo?

f x = 2 3 1 - x 3

Certo, temos algo no estilo

c 1 - d

Ou seja, uma constante dividindo 1 - alguma coisa

Hummmm vamos puxar aí as séries que temos na memória (AS SÉRIES AQUI DE CÁLCULO OK? :P)

LEMBREI! Isso parece muito a representação de uma série assim:

a 0 1 - r

Em que a 0 é o primeiro termo da série e r é a razão:

∑ n = 0 ∞ a 0 . r n = a 0 . 1 1 - r ,     r < 1

Passo 3

Então meu caro, se temos a função

f x = 2 3 1 - x 3

(repara que manipulamos justamente pra aparecer esse 1 no denominador),

Então ela pode ser escrita como essa série:

∑ n = 0 ∞ 2 3 . x 3 n = 2 3 . 1 1 - x 3 ,     x 3 < 1

Passo 4

Como a razão da série geométrica é x 3   , temos que ter, pra série convergir:

x 3 < 1

x 3 < 1

x < 3

- 3 < x < 3

Ou seja, o intervalo de convergência é - 3 ,   3 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 3 . x 3 n

( - 3 ,   3 )

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]