Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

USP, Cálculo 4, P2 - 2016, Questão 3A

Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:

a n = 1 - 1 n + 1 n ! 3 n 2

Passo 1

Como esta é uma série que tem termos alternados, podemos aplicar o critério (ou teste) da razão, que é o seguinte:

lim n a n + 1 a n = l i m n n + 1 ! 3 n + 1 2 3 n 2 n ! = lim n n + 1 3 2 n + 1

Dá uma olhada nisso aqui:

f n = n + 1   f ' n = 1

f n = 3 2 n + 1   f ' n = 2 n + 1 3 2 n

Observe que se n , o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, e portanto:

lim n n + 1 3 2 n + 1 = 0

Como o módulo da série converge, a série também. Logo, a série é absolutamente convergente.

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Resposta

A série é absolutamente convergente.

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