Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

USP, Cálculo 4, P1 - 2017, Questão 3b

Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:

a n = 1 - 1 n - 1 cos 1 n n 3

Passo 1

Vamos começar vendo a convergência da série em módulo:

n = 1 - 1 n - 1 cos 1 n n 3 = n = 1 cos 1 n n 3

Usaremos o teste da raiz, ok?

lim n cos 1 n n 3 n = lim n cos 1 n n 2

Adotando x = 1 n :

lim n cos 1 n n 2 = lim x 0 cos x 1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, temos que usar um truque, que é escrever esse cara do limite assim:

e ln cos x 1 x 2 e ln cos x x 2

Então:

lim x 0 cos x 1 x 2 = lim x 0 e ln cos x x 2

E agora a gente calcula o limite do expoente apenas :D

lim x 0 ln cos x x 2 L ' H ô p i t a l lim x 0 - sen x cos x 2 x = lim x 0 - tan x 2 x L ' H ô p i t a l lim x 0 - sec 2 x 2 = - 1 2

Portanto:

lim x 0 cos x 1 x 2 = lim x 0 e ln cos x x 2 = e - 1 2 < 1

Logo, a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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