Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ e - n n !

Passo 1

Como temos um fatorial e um expoente n , imaginamos que o Teste da razão deva ser uma boa ideia.

O primeiro passo para aplicar esse teste é escrever quem são a n e a n + 1 .

a n = e - n n !

a n + 1 = e - ( n + 1 ) ( n + 1 ) !

Passo 2

Agora vamos montar o limite que o teste pede e simplificá-lo ao máximo.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) ! × 1 e - n n !

= lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) n ! × 1 e - n n ! =

= lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) e - n =

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) e = ∞

Como encontramos lim ⁡ a n + 1 a n = ∞ , sabemos que essa série diverge, pelo Teste da razão.

Resposta

A série diverge.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]