USP, Cálculo 4, P1 - 2011, Questão 1b Determine se a série converge ou diverge ∑ n = 1 ∞ 11 n n ! 3 3 n ! Passo 1 Como temos um monte de fatoriais vamos usar o teste da razão lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ 11 n + 1 n + 1 ! 3 3 n + 1 ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 = lim n → ∞ 11 n + 1 n + 1 n ! 3 3 n + 3 ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 = lim n → ∞ 11 n + 1 n + 1 3 n ! 3 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 = lim n → ∞ 11 n + 1 3 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 = lim n → ∞ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 9 n 2 + 15 n + 6 3 n + 1 = lim n → ∞ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 45 n 2 + 18 n + 9 n 2 + 15 n + 6 = lim n → ∞ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 54 n 2 + 33 n + 6 Temos dois polinômios, vamos colocar o maior grau de n em evidência lim n → ∞ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 54 n 2 + 33 n + 6 = lim n → ∞ 11 n 3 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 = lim n → ∞ 11 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 = 11 1 + 0 + 0 + 0 27 + 0 + 0 + 0 = 11 27 Como esse limite é menor que 1 , pelo teste da razão, essa parada converge 😉 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA Resposta Converge