Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2

Questão 3:

Decida se as seguintes séries divergem ou convergem:

i i i .         ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n

Passo 1

Podemos usar aqui o teste da raiz, já que temos uma expoente envolvendo n em todo o termo! O teste da raiz consiste em aplicar o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n n

E verificar se ele é maior, menor ou igual a 1 (menor que 1 série converge, maior diverge e igual é inconclusivo). Vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No nosso caso...

a n = n 2 + 1 2 n 2 + 1 n =

Logo...

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n n

Como o módulo elimina negativo e aqui é tudo positivo...

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1

Dividindo todo mundo por n 2 (tanto em cima quanto em baixo)...

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 1 n 2 2 n 2 n 2 + 1 n 2 =

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 2 + 1 n 2 =

Como quando n cresce para o infinito o 1 / n 2 vai a 0 , esse limite é igual a 1 / 2 :

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 2 + 1 n 2 = 1 2

Como é menor que 1 , a série converge.

Resposta

Convergente.

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