Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2

Questão 3:

Decida se as seguintes séries divergem ou convergem:

  i i .           ∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 5 n

Passo 1

Podemos usar aqui o teste da raiz, já que temos uma expoente envolvendo n em todo o termo! O teste da raiz consiste em aplicar o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n n

E verificar se ele é maior, menor ou igual a 1 (menor que 1 série converge, maior diverge e igual é inconclusivo). Vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No nosso caso...

a n = - 2 n n + 1 5 n =

- 2 n 5 n + 1 5 n

Ou melhor...

- 2 5 n 5 n + 1 5 n

Como - 2 5 = - 32 ...

- 32 n 5 n + 1 5 n  

Logo...

lim n → ∞ ⁡ - 32 n 5 n + 1 5 n n

Como o módulo elimina negativo...

lim n → ∞ ⁡ 32 n 5 n + 1 5

Dividindo todo mundo por n 5 (tanto em cima quanto em baixo)...

lim n → ∞ ⁡ 32 n + 1 5 n 5 =

lim n → ∞ ⁡ 32 n + 1 n =

lim n → ∞ ⁡ 32 1 + 1 n =

Como quando n cresce para o infinito o 1 / n vai a 0 , esse limite é igual a 32 :

lim n → ∞ ⁡ a n n = 32

Como é maior que 1 , a série diverge.

Resposta

Divergente.

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