Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 6

Seja ∑ n = 0 ∞ a n uma série numérica. Considere as seguintes afirmações:

(I) Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 então ∑ n = 0 ∞ a n diverge.

(II) Se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 então ∑ n = 0 ∞ a n converge.

(III) Se ∑ n = 0 ∞ a n 2 converge então ∑ n = 0 ∞ a n converge.

Podemos afirmar que são corretas apenas as alternativas:

a) (I).

b) (II) e (III).

c) (I) e (III).

d) (III).

e) (I) e (II).

Passo 1

Prontos para mais uma questão teórica sobre séries?

Temos que analisar três afirmativas. A primeira é a mais simples: se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 então ∑ n = 0 ∞ a n diverge. Ela é verdadeira devido ao teste da razão, em que tomamos

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Se L < 1 ela é convergente e se L > 1 ela diverge. Portanto, caso o limite seja maior que 1 , podemos garantir que a série diverge!

Como a afirmativa (I) é verdadeira, já podemos eliminar as alternativas B e D.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A segunda afirmativa diz que se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 então ∑ n = 0 ∞ a n converge, o que é falso!!!

A recíproca é verdadeira: se ∑ n = 0 ∞ a n converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 . Com isso, se o limite do termo geral não for para zero nós sabemos que a série diverge, mas se ele tende a zero, ela pode ou não convergir...

Agora restam apenas as alternativas A e E disponíveis!

Passo 3

Por fim, temos a afirmativa (III): se ∑ n = 0 ∞ a n 2 converge então ∑ n = 0 ∞ a n converge. Essa afirmativa é falsa e vou provar isso com um contra exemplo! Sabemos que a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

converge, mas a série

∑ n = 1 ∞ 1 n

diverge. Eu sei que você deve estar questionando: mas a série do problema começa em n = 0 e essa série que você usou começa em n = 1 . Isso não faz diferença nenhuma pois o que vale é comportamente para n → ∞ . Eu poderia ter usado as série

∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 2           e           ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1

que o argumento seria o mesmo!

Com isso, vemos que apenas a afirmativa (I) é correta: alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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