Uma barra condutora vertical de comprimento L sob ação de uma força externa  F → e x t , se move na horizontal com velocidade constante  v → = - v i ^ , deslizando sem atrito sobre 2 condutores paralelos fixos, formando um circuito fechado com uma terceira barra fixa de resistência R . Simultaneamente, um fio horizontal infinito está paralelo aos dois condutores e a um distância a do condutor mais próximo. Por este fio passa uma corrente constante I no sentido negativo do eixo x . Sabendo que o módulo do campo magnético produzido por um fio com corrente I a uma distância r é dado por B = μ 0 I 2 π r , determine:

  1. O módulo da força eletromotriz induzida no circuito.
  2. O sentido da corrente induzida no circuito e justifique sua resposta.
  3. Determine o vetor força externa  F → e x t , em termos dos parâmetros geométricos do problema e demais dados no enunciado.

Passo 1

a) Bom, primeiro, é sempre importante entendermos o que está acontecendo aqui neste problema para depois passar para as contas. A corrente I que passa no fio infinito produz um campo magnético  B → que atravessa a área da espira a b c d da figura abaixo. Essa área aumenta à medida que a barra condutora vertical se desloca para a esquerda.

Se a área aumenta com o tempo, então o fluxo do campo magnético também aumenta e, por isso, teremos uma fem induzida no circuito e isso que queremos calcular agora. “Bora” lá?

Vamos calcular o fluxo magnético Φ B . O campo magnético gerado por I atravessa uma área   d A → = x t d r   ( + k ^ ) , em que colocamos o vetor  d A → paralelo ao campo   B → = B r   k ^ , ou seja, ambos perpendiculares à página e saindo dela, como está na figura acima. Com isso, o fluxo magnético fica

Φ B ( t ) = ∫ S B → ⋅ d A → = ∫ S B r d A = μ 0 I 2 π   ∫ a a + L x t d r r   .

Como x ( t ) não varia ao longo da direção de r , então podemos tirar da integral esse termo. Fazendo isso, teremos

Φ B t = μ 0 I x t 2 π ln ⁡ a + L a   .

Agora sim podemos encontrar o valor do módulo da fem

| E | = - d Φ B d t = μ 0 I v 2 π ln ⁡ a + L a   ,

onde já usamos d x t d t = v , que é a velocidade constante com que a barra condutora se desloca para a esquerda.

Passo 2

b) Como comentamos no Passo 1, a área pela qual o campo  B → passa aumenta com o tempo e por isso, pela lei de Lenz, a corrente induzida I i n d que aparece na espira a b c d deve estar no sentido horário. Com isso, o campo induzido B → i n d gerado por I i n d atravessa a área da espira e o fluxo magnético correspondente se opõe à taxa temporal de variação do fluxo do campo magnético  B → gerado por  I .

Passo 3

c) Como mostra a figura acima, a corrente induzida I i n d tem sentido horário e, como o campo gerado por I está saindo da página, a força infinitesimal  d F → sobre um comprimento  d y → da barra será

d F → = I i n d   d y →   ×   B → = I i n d   d y + j ^   ×   B ( y ) ( + k ^ ) = I i n d B ( y ) d y   j ^   ×   k ^     ,

e como   j ^   ×   k ^ = + i ^ , a força será

d F → = I i n d B ( y ) d y + i ^   ,

que está apontando para a direita.

Por isso, a força externa total é F → e x t = - F → , que deve ser aplicada à barra para que ela tenha velocidade constante v para a esquerda. Por isso, utilizando a expressão acima e integrando, teremos:

F → e x t = - ∫ d F → = I i n d ∫ a a + L μ 0 I 2 π y   d y   - i ^ = μ 0 I I i n d 2 π ∫ a a + L d y y   - i ^ .  

Resolvendo a integral,

F → e x t = μ 0 I I i n d 2 π ln ⁡ a + L a ( - i ^ )   ,

que mostra que a força externa total  F → e x t tem mesma direção, mesmo módulo, porém sentido contrário ao da força  F → .

Agora vamos colocar essa força em termos dos parâmetros geométricos que o item pede.

Como | E | = R I i n d , a corrente induzida é

I i n d = | E | R = μ 0 I v 2 π R ln ⁡ a + L a   .

Reescrevendo a força externa total  F → e x t ,

F → e x t = μ 0 2 I 2 v 4 π 2 R   ln ⁡ a + L a 2 - i ^   .

Resposta

  1. | E | = - d Φ B d t = μ 0 I v 2 π ln ⁡ a + L a   ;
  2. Corrente induzida no sentido horário ;
  3. F → e x t = μ 0 2 I 2 v 4 π 2 R   ln ⁡ a + L a 2 - i ^   .

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