O campo magnético em todos os pontos de uma região cilíndrica de raio R é uniforme e direcionado para dentro da página , variando com o tempo segundo B = K t , onde K é uma constante positiva.

  1. Determine a integral ∮ E → ∙ d l → do campo elétrico ao longo do circuito C indicado na figura.
  2. Determine o vetor campo elétrico E → fora da região cilíndrica de raio R .
  3. Determine o vetor campo elétrico E → dentro da região cilíndrica de raio R .

Passo 1

  1. Determine a integral ∮ E → ∙ d l → do campo elétrico ao longo do circuito C indicado na figura.
  2. Essa integral que o problema pediu pra calcularmos na verdade é a definição de Lei de Faraday, seliga:

    ∮ E → ∙ d l → = - ∂ ϕ B ∂ t

    Esse ϕ B é o fluxo do campo magnético pela área do circuito.

    ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

    A área por onde o campo magnético passa por dentro do circuito será igual à metade da circunferência... conseguiu ver? E como ϕ B não depende da área:

    ϕ B = B ∬ S   d A = - B π R 2 2

    ϕ B = - K π R 2 t 2

    Ah! Lembrando que esse sinal negativo aparece porque o campo magnético está entrando na folha. Se estivesse saindo, o fluxo do campo magnético seria positivo.

    Voltando para aquela integral:

    ∮ E → ∙ d l → = - ∂ ϕ B ∂ t

    ∮ E → ∙ d l → = - ∂ ∂ t - K π R 2 t 2

    ∮ E → ∙ d l → = K π R 2 2

    Passo 2

  3. Determine o vetor campo elétrico E → fora da região cilíndrica de raio R .
  4. Vamos de novo pela Lei de Faraday:

    ∮ E → ∙ d l → = - ∂ ∂ t ∬ S   B → ∙ d A →

    Beleza, como estamos querendo calcular o campo elétrico fora de região cilíndrica, a nossa curva será uma circunferência de raio r :

    ∮ E → ∙ d l → = E 2 π r

    Aqui vai acontecer a mesma coisa que na letra (a), a diferença é que agora a região em que estamos interessados é a circunferência inteira. Logo:

    E 2 π r = - ∂ ∂ t - K π R 2 t

    E 2 π r = K π R 2

    E = K R 2 2 r

    Mas po, beleza! Só não sei a direção do campo elétrico... mas se olharmos novamente para a Lei de Faraday:

    ∮ E → ∙ d l → = - ∂ ϕ B ∂ t

    Só de olhar a fórmula, vemos que o campo elétrico deve estar na direção do elemento d l → , isso significa que o campo elétrico vai estar sempre na direção:

    Portando:

    E → = K R 2 2 r θ ^  

    Passo 3

  5. Determine o vetor campo elétrico E → dentro da região cilíndrica de raio R .

Beleza! Essa é quase igual à letra (b), então o raciocínio é o mesmo.

A diferença agora é que a área atravessada pelo campo magnético será π r 2 e a curva por onde passa o campo elétrico será 2 π r . Onde r < R .

∮ E → ∙ d l → = - ∂ ∂ t ∬ S   B → ∙ d A →

E 2 π r = K π r 2

E = K r 2

Para o vetor campo elétrico vai acontecer a mesma coisa que o caso anterior, logo:

E → = K r 2   θ ^

Resposta

  1. ∮ E → ∙ d l → = K π R 2 2

  2. E → = K R 2 2 r   θ ^

E → = K r 2   θ ^

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