Um solenoide ideal, com n voltas por unidade de comprimento (axial) e seção transversal circular de raio r s , é percorrido por uma corrente elétrica cuja intensidade varia no tempo de acordo com i t = b t ( b = const > 0 ). Dentro do solenoide, em um plano perpendicular ao seu eixo, com raio r e , coloca-se uma espira circular condutora de resistência R . A autoindutância da espira e a indutância mutua entre essa e o solenoide são desprezíveis. Considere, ademais, que a lei de Ampére usual possa ser aplicada.

  1. Determine o vetor campo magnético B → dentro do solenoide, produzido pela corrente i t .
  2. Qual é a intensidade da corrente induzida na espira?
  3. Qual é o sentido de tal corrente induzida?
  4. Determine o vetor campo elétrico E → induzido na espira.

Passo 1

Como eles inventaram essa rataria de poder fazer Ampère clássica com a corrente variando, é justamente o que nós vamos fazer:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 I int

Escolhendo uma Amperiana retangular de dimensões x e y :

Passo 2

Temos que o campo é nulo fora do solenoide, além de que o produto escalar ser nulo nos lados y :

B → ⊥ d l → → B → ∙ d l → = 0

No lado x que está dentro do solenoide temos:

B → ∥ d l → → B → ∙ d l → = B d l

∮ r 1 B d l = μ 0 I int

Temos o módulo do campo constante ao longo de todo o segmento retilíneo:

∮ r 1 B d l = B ∮ r 1 d l

∮ r 1 B d l = B x

Passo 3

Agora determinamos a corrente que atravessa a nossa Amperiana. Se tivermos N fios dentro dela, a corrente total será:

I int = N i t

Pois cada um passa i t de corrente. Substituindo tudo:

B x = μ 0 N i t

B = μ 0 N i t x

Utilizando o dado do enunciado, que é o número n de espiras por unidade de comprimento:

n = N x

B = μ 0 n i t

Além disto, pela regra da mão direita o vetor aponta no sentido de z ^ :

B → = μ 0 n i t z ^

Passo 4

A intensidade da corrente induzida pode ser encontrada pela Lei de Faraday junto à Lei de Ohm:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

E = R I → I = E R

Segue que:

I = - 1 R ∂ ϕ B ∂ t

Passo 5

Agora precisamos determinar a variação do fluxo magnético. Pela fórmula de fluxo:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Orientamos a área no sentido do campo:

d A → = d A z ^

Fazemos o produto escalar:

B → ∙ d A → = μ 0 n i t d A

E integramos:

∬ S μ 0 n i t d A = μ 0 n i t ∬ S d A

Temos que a área é π r e 2 :

ϕ B = μ 0 n i t π r e 2

Passo 6

Derivando o fluxo com respeito ao tempo e plugando na fórmula:

I = - 1 R ∂ μ 0 n i t π r e 2 ∂ t

I = - μ 0 n π r e 2 R ∂ i t ∂ t

Sabemos que a corrente é i t = b t :

I = - μ 0 n π r e 2 b R

Temos então nossa corrente induzida. A intensidade pode ser obtida tirando o módulo.

I = μ 0 n π r e 2 b R

Passo 7

Pela Lei de Lenz, como temos um fluxo magnético aumentando no sentido de z ^ :

ϕ B = μ 0 n i t π r e 2

i t = b t → d ϕ d t > 0

Temos que a corrente induzida vai tentar se opor à esse efeito. Por conta disto, ela vai ficar no sentido horário se olharmos para z ^ :

Passo 8

Agora vamos encontrar o vetor campo elétrico. Nós obtivemos a força eletromotriz por Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

E = - μ 0 n π r e 2 b

Pela definição da força eletromotriz podemos encontrar o campo elétrico:

E = ∮ C   E → ∙ d r →

Substituindo:

∮ C   E → ∙ d r → = - μ 0 n π r e 2 b

Como o campo elétrico é quem puxa a corrente, ele vai ter um aspecto circular por conta do formato do circuito. Podemos então rodar uma espécie de Lei de Ampère, lembrando que a orientação da curva C já está fixada uma vez que tenhamos determinado o sentido do vetor área.

Passo 9

Pelo que argumentamos, o campo vai ser tangente ao circuito em todos os pontos:

E → ∥ d r → → E → ∙ d r → = - E d r

Sim, dá negativo. O vetor área aponta no sentido de z ^ conforme estipulamos, já o campo fica no sentido da corrente. Por conta disto nosso d r → e E → são paralelos mas em sentidos opostos.

Continuando... Pela simetria do problema (quando não souber o que falar, diga a palavra “simetria”) vamos ter o módulo do campo elétrico constante em todo o circuito:

∮ C   E d r = E ∮ C   d r

- E 2 π r e = - μ 0 n π r e 2 b

Segue que o módulo do campo elétrico vai ser:

E = μ 0 n r e b 2

Como sabemos que ele gira no sentido da corrente, pela regra da mão direita ajustamos:

E → = - μ 0 n r e b 2 ϕ ^

Atenção pro sinal. O sentido de ϕ ^ é obtido colocando o polegar no sentido de z ^ e os outros dedos vão dar o sentido do giro positivo.

Resposta

a)

B → = μ 0 n i t z ^

b)

I = μ 0 n π r e 2 b R

c)

Sentido horário se olharmos para z ^ .

d)

E → = - μ 0 n r e b 2 ϕ ^

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