A figura abaixo mostra uma espira quadrada de lado l que move-se da esquerda para a direita com aceleração constante a → = a x ^ ( a   >   0 ). A espira penetra em uma região do espaço em que há um campo magnético constante B → = - B z ^ ( B   >   0 ), perpendicular ao plano da folha e apontando para dentro. A espira tem resistência R . Nessa figura, a variável x mede a posição do lado direito da espira com relação à fronteira da região de campo e é uma função do tempo t . Suponha que x = 0 no instante t = 0 e que a espira parte do repouso.

OBS: Suas respostas devem ser dadas em função apenas de a , B , l e t .

  1. Determine a intensidade do fluxo de campo magnético através da área definida pela espira como função do tempo t , considerando os intervalos em que a espira está entrando no campo e depois que ela está totalmente imersa.
  2. Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida na espira como função do tempo t , considerando os mesmos intervalos.
  3. Faça gráficos da intensidade do fluxo e da corrente induzida como função do tempo t , destacando os pontos relevantes.

Passo 1

a)A espira se move com aceleração constante, então a equação da coordenada x deve ser escrita como

x t = a t 2 2

Então, isolando t na equação acima, o tempo que a espira leva pra entrar no campo é t e = 2 l a (lembrando que nesse caso, x t = l , já que é o comprimento da espira).

Como o enunciado pede pra considerar os intervalos em que a espira está entrando no campo e quando já está lá dentro, vamos calcular 2 fluxos magnéticos: um para 0 < t < t e e outro para t > t e .

A fórmula de fluxo magnético é assim

ϕ B ( t ) = ∫ B → ⋅ ⅆ A →

Como a área da espira é plana e o campo magnético é constante, a gente pode escrever simplesmente:

ϕ B t = B → A → t   c o s ( θ )  

θ é o ângulo entre B → e A → t . Vamos orientar o vetor A → t na mesma direção do campo, assim temos que:

ϕ B t = B → A → t   c o s ( 0 )  

ϕ B t = B   A ( t )

Onde A ( t ) é a porção da espira que está imersa no campo no tempo t .

Passo 2

b)Então vamos calcular o fluxo magnético para cada intervalo de tempo:

I) 0 < t < t e

Nesse intervalo, a área da espira que está imersa no campo é

A t = l   x ( t )

Então:

ϕ B t = B l x ( t )

ϕ B t = B l a t 2 2

II) t > t e

Como agora a espira está totalmente imersa no campo

A t = l ²

Então o fluxo magnético será

ϕ B t = B l ²

Passo 3

c)A gente consegue usar a Lei de Faraday pra determinar a força eletromotriz nos dois intervalos, lembrando que ela é dada por

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Depois podemos, então, calcular a corrente induzida dividindo ε pela resistência R .

I) 0 < t < t e

ε = - ∂ ( B l a t 2 2 ) ∂ t

ε = - a B l t

Nossa força eletromotriz deu negativa, isso quer dizer que seu sentido é contrário à regra da mão direita a partir do vetor área (sentido horário). Então tanto a força eletromotriz quanto a corrente induzida vão ter sentido anti-horário.

I ( t ) = | ε | R

I ( t ) = a B l t R

II) t > t e

ε = - ∂ ( B l ² ) ∂ t

ε = 0

Nesse caso, a força eletromotriz deu 0 porque o fluxo de campo magnético é constante. Então, nossa corrente induzida também vai ser 0.

Passo 4

c)Os gráficos são mostrados na figura abaixo.

Repare que antes da espira entrar totalmente no campo magnético, o fluxo magnético tem comportamento quadrático enquanto a corrente induzida tem comportamento linear. Já quando a espira entra totalmente no campo, o fluxo magnético é constante e a corrente induzida é nula.

Resposta

  1. ϕ B t = B l a t 2 2   ( 0 < t < t e )
  2. ϕ B t = B l 2 ( t > t e )

  3. I t = a B l t R no sentido anti-horário ( 0 < t < t e )

I t = 0

C)

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