A figura abaixo ilustra um fio retilíneo infinito percorrido por uma corrente elétrica i . Uma barra condutora móvel, de comprimento l , move-se para a esquerda com velocidade constante  v → entre dois trilhos horizontais. Os trilhos são paralelos entre si e também paralelos ao fio infinito. A extremidade direita dos trilhos é conectada a uma barra condutora vertical fixa, de tal forma que o conjunto (ou seja, os trilhos e a barra fixa) forma uma espira retangular condutora a b c d . O trilho superior encontra-se a uma distância h do fio infinito.

  1. Usando a lei de Ampère, calcule o módulo do campo magnético gerado pelo infinito a uma distância arbitrária r do mesmo.
  2. Calcule o módulo da força eletromotriz induzida na espira retangular a b c d .
  3. O sentido da corrente induzida na espira retangular a b c d será horário ou anti-horário? Justifique, sucintamente, sua resposta.

Passo 1

a) Neste item, é muito importante relembrar as características de simetria que o fio “infinito” tem, o que nos dará, consequentemente, quais são as características do campo magnético produzido pela corrente i .

Para entender essas características, vamos sempre ficar de olho na figura abaixo, que mostra o fio envolvido por uma circunferência de raio r concêntrica ao fio “infinito”.

Resumão:

  1. Se girarmos o fio em torno de um eixo que passa longitudinalmente por ele, o fio continua o mesmo. Consequência: o campo magnético tem o mesmo valor em todos os pontos da circunferência de raio r concêntrica ao fio;
  2. Se transladamos o fio ao longo da direção do eixo z , o fio também não se altera. Consequência: o campo magnético não tem componente ao longo de z , portanto, o campo é perpendicular ao fio e só depende de r ;

Portanto,  B → = B r   ϕ ^ , ou seja, campo depende de r e está ao longo da direção  ϕ ^ tangente ao círculo de raio r . Por isso, vamos considerar nossa amperiana (curva fechada C da figura) orientada no mesmo sentido e direção de  B → . Isso significa que  d l → é paralelo B → , como colocamos na figura, e a lei de Ampère fica:

∮ C B → ⋅ d l → = ∮ C B ( r ) d l = B ( r ) ∮ C d l = B r 2 π r =   μ 0 I i n t   ,

em que I i n t é a corrente que atravessa a área definida pela amperiana. Como I i n t = i , podemos simplificar a expressão acima e escrever o seguinte

B → = B r ϕ   ^ = μ 0 i 2 π r ϕ ^   .

Passo 2

b) Agora, vamos olhar como é o fluxo desse campo através da área da espira a b c d . Primeiro, como a barra condutora se move para a esquerda, essa área está aumentando com o tempo, o que significa que o fluxo magnético também está aumentando com o tempo. Então, na espira vai aparecer uma fem induzida E e é o que queremos encontrar aqui.

Como o  B → está entrando na página e é perpendicular a ela, podemos colocar o vetor  d A → = x t d r + k ^ paralelo a  B → = B ( r ) ( + k ^ ) , como está na figura abaixo.

Da expressão que a gente encontrou no Passo 1, vemos que o campo magnético não tem o mesmo valor em todos os pontos da área da espira a b c d . Por isso, o fluxo magnético será:

Φ B = ∫ S B → ⋅ d A → = ∫ S B r x t d r = μ 0 i x ( t ) 2 π   ∫ h h + l d r r   ,

e tiramos o x ( t ) da integral porque tem mesmo valor ao longo da distância r . Fazendo a integral acima, chegamos a

Φ B = μ 0 i x t 2 π ln ⁡ h + l h .

O único termo que depende do tempo nessa expressão é x ( t ) . Como d x t d t = v , que é a velocidade da barra condutora, o módulo da fem induzida será

| E | = - d Φ B d t = μ 0 i v 2 π ln ⁡ h + l h   .

Passo 3

c) Como a área está aumentando com o tempo à medida que a barra condutora se movimenta para a esquerda, o fluxo magnético aumenta com o tempo. Por isso, o sentido da corrente induzida i i n d que aparece na espira deve ser tal que o campo magnético  B → i n d que ela cria produz um fluxo magnético Φ B i n d que se opõe ao fluxo Φ B ( t ) que encontramos.

Por isso, para que haja esse fluxo se opondo a Φ B ( t ) , i i n d deve estar circulando na espira no sentido anti-horário.

Resposta

  1. B → = B r ϕ   ^ = μ 0 i 2 π r ϕ ^   ;
  2. | E | = - d Φ B d t = μ 0 i v 2 π ln ⁡ h + l h   ;
  3. Sentido anti-horário.

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