A figura ao lado mostra a seção transversal de uma região cilíndrica de raio a , coaxial com o eixo z de um sistema de coordenadas, onde existe um campo magnético uniforme dado por

B → = B 0 e - α t   k ^ ;   α constante

de modo que B → 0 = B 0 k ^ e B → t → ∞ = 0 .

a ) Obtenha o vetor campo elétrico induzido em todo o espaço, em função de B 0 , α e t .

b ) A figura também mostra uma partícula com carga q . Para a partícula na posição indicada na figura r → = b j ^ , obtenha o vetor força elétrica F → que atua sobre ela. Calcule também o vetor torque da força elétrica em relação à origem O do sistema de coordenadas. Expresse os vetores sob a forma cartesiana, isto é, em termos das componentes nas direções x , y e z .

Passo 1

a ) Obtenha o vetor campo elétrico induzido em todo o espaço, em função de B 0 , α e t .

Aqui vai ser necessário interligarmos alguns conhecimentos que temos sobre a matéria, beleza?

Bom, mesmo que a área transversal da região permaneça constante, a variação do campo magnético com o tempo vai gerar uma variação do fluxo magnético com o tempo, concorda?

De acordo com a lei de Faraday, a variação desse fluxo magnético vai gerar uma f e m induzida, dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Onde ϕ B = ∫ B → ∙ d A → , logo:

ε = - ∂ ∂ t ∫ B → ∙ d A →

Até aqui, tudo bem?

Agora é importante lembrar que nós podemos associar a f e m induzida com o campo elétrico induzido através da relação:

ε = ∫ E → ∙ d r →

Substituindo isso na lei de Faraday, teremos:

∫ E → ∙ d r → = - ∂ ∂ t ∫ B → ∙ d A →

Agora sim, podemos seguir em frente.

Passo 2

-

∫ E → ∙ d r → = - ∂ ∂ t ∫ B → ∙ d A →

Por conta da simetria do problema, E → = E ϕ ϕ ^ , onde ϕ ^ é tangencial à circunferência de raio r e positivo no sentido anti-horário.

Como temos que determinar o campo elétrico em toda a região do espaço, vamos dividir o espaço em 2: r > a e r < a , ok?

  • r > a
  • Nesse caso, devemos considerar o fluxo magnético apenas sobre a região de raio a :

    E ϕ 2 π r = - ∂ ∂ t B 0 e - α t π a 2

    E ϕ 2 π r = - B 0 π a 2 ∂ ∂ t e - α t

    E ϕ 2 π r = α B 0 π a 2 e - α t

    E ϕ = α B 0 a 2 2 r e - α t

    Finalmente:

    E → ϕ = α B 0 a 2 2 r e - α t ϕ ^

  • r < a
  • Aqui vamos considerar o fluxo magnético sobre toda a região de raio r :

    E ϕ 2 π r = - ∂ ∂ t B 0 e - α t π r 2

    E ϕ 2 π r = - B 0 π r 2 ∂ ∂ t e - α t

    E ϕ 2 π r = α B 0 π r 2 e - α t

    E ϕ = α B 0 r 2 e - α t

    Finalmente:

    E → ϕ = α B 0 r 2 e - α t ϕ ^

    Passo 3

    b ) A figura também mostra uma partícula com carga q . Para a partícula na posição indicada na figura r → = b j ^ , obtenha o vetor força elétrica F → que atua sobre ela. Calcule também o vetor torque da força elétrica em relação à origem O do sistema de coordenadas. Expresse os vetores sob a forma cartesiana, isto é, em termos das componentes nas direções x , y e z .

    Por definição, a força elétrica e o campo elétrico estão associados por:

    F → = q E →

    No ponto onde está a carga q o campo elétrico terá a direção e sentido do vetor - i ^ .

    Logo:

    E → = - α B 0 a 2 2 b e - α t i ^

    Finalmente:

    F → = - q α B 0 a 2 2 b e - α t i ^

    Passo 4

    O torque, por definição é dado por:

    τ → = r → × F →

    Logo:

    τ → = b j ^ × - q α B 0 a 2 2 b e - α t i ^

    τ → = - q α B 0 a 2 2 e - α t j ^ × i ^

    τ → = q α B 0 a 2 2 e - α t k ^

    Resposta

    a )

  • r > a
  • E → ϕ = α B 0 a 2 2 r e - α t ϕ ^

  • r < a

E → ϕ = α B 0 r 2 e - α t ϕ ^

b )

F → = - q α B 0 a 2 2 b e - α t i ^

τ → = q α B 0 a 2 2 e - α t k ^

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