A figura abaixo mostra uma espira quadrada de lado a e resistência elétrica R , que encontra-se nas proximidades de um fio infinito retilíneo, percorrido por uma corrente elétrica constante i . O fio é direcionado paralelamente aos lados verticais da espira quadrada. Note que o fio e a espira são coplanares. Sabe-se que a espira desloca-se com velocidade constante   v → , na direção perpendicular ao fio. A distância do fio infinito à extremidade esquerda da espira é dada por D . Note que D = D ( t ) é uma função do tempo. Todo o sistema está imerso no vácuo, cuja constante de permeabilidade magnética é dada por μ 0 .

  1. Calcule o módulo do fluxo magnético gerado pelo campo magnético do fio infinito através da espira.
  2. Calcule o módulo e o sentido (horário ou anti-horário) da corrente elétrica induzida I na espira.
  3. Neste item, responda às mesmas perguntas feitas no item b), agora supondo que a espira se move com velocidade paralela ao fio infinito (observe que neste caso a distância D não varia com o tempo).

Passo 1

a) Pela regra da mão direita, o campo magnético produzido pela corrente I está saindo do plano da espira e é perpendicular à página. Como a espira se move para a direita, o fluxo magnético através da espira varia com o tempo, o que vai resultar em uma fem induzida na espira e como ela tem resistência, também vai passar por ela uma corrente induzida.

Para gente ver primeiro como é o fluxo magnético, vamos olhar para a figura abaixo, que tem o elemento de área d A = a d r .

O módulo do campo magnético produzido por I passando nesse fio infinito é dado por:

B r = μ 0 I 2 π r   ,

expressão que obtemos utilizando a lei de Ampère.

Podemos escolher o vetor área d A → saindo da página e, portanto, paralelo ao campo magnético. Isso facilita as contas, porque vamos poder escrever o fluxo magnético da seguinte forma:

Φ B t = ∫ S B → ⋅ d A → = ∫ S B r d A = μ 0 I a 2 π   ∫ D D + a d r r   ,

que depende do tempo porque a distância D = D ( t ) está variando no tempo.

Resolvendo a integral, teremos:

Φ B t = μ 0 I a 2 π ln ⁡ D t + a D t     .

Vamos reescrever essa expressão para ficar mais fácil no próximo item:

Φ B t = μ 0 I a 2 π [  ln ⁡ D t + a - ln ⁡ ( D ( t ) ]   .  

Passo 2

b) Como o fluxo magnético varia com o tempo, vai aparecer na espira uma fem induzida ϵ dada por

ϵ = - d Φ B t d t = R I i n d     ⇒     I i n d = - 1 R d Φ B t d t   .

Derivando o primeiro termo de Φ B ( t ) do Passo 1, temos:

d ln ⁡ D t + a d t = 1 D t + a d D t d t = 1 D t + a   v   ,    

já que a taxa temporal com que a distância D ( t ) varia é exatamente a velocidade v . Fazendo a mesma coisa com o segundo termo de ϵ , vamos ter

I i n d = - μ 0 I a 2 π R v D t + a - v D t     ⇒     I i n d = μ 0 I a 2 2 π R D t + a D t > 0   .

Como definimos o vetor área saindo da página e perpendicular a ela, o sentido positivo, dado pela regra da mão direita para  d A → , será anti-horário. Por isso, como ϵ > 0 , a fem induzida e, portanto, a corrente induzida, estarão no sentido anti-horário.

Passo 3

c) Como a espira caminha com velocidade constante paralela ao fio, todos os seus pontos estarão sempre à mesma distância da corrente I , o que significa que o fluxo magnético será o mesmo em todo tempo: Φ B = c o n s t a n t e . Portanto,

d Φ B d t = 0     ⇒     ϵ = 0       ⇒     I i n d = 0   .

Resposta

  1. Φ B t = μ 0 I a 2 π ln ⁡ D t + a D t   ;
  2. I i n d = μ 0 I a 2 2 π R D t + a D t > 0   ⇒ s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   ;
  3. I i n d = 0   .

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