O campo elétrico na região considerada na figura é dado por E → y = K y   i ^ sendo K uma constante positiva.

a ) Calcule a integral de linha ∮ E → ∙ d l → ao longo do retângulo C de largura a e altura b , orientado como é mostrado na figura.

b ) Além do campo elétrico na região considerada há também um campo magnético uniforme B → t = B t k ^ cuja intensidade depende do tempo. Em t = 0 , B 0 = B 0 . Utilizando a Lei de Faraday na forma integral, determine B t .

Passo 1

a ) Calcule a integral de linha ∮ E → ∙ d l → ao longo do retângulo C de largura a e altura b , orientado como é mostrado na figura.

O campo elétrico é dado por:

E → y = K y   i ^

Pra analisar corretamente, vamos dividir a o retângulo em 4 retas.

  • Retas 2 e 4
  • Nas retas 2 e 4, o vetor d l → é, respectivamente:

    d l → 2 = - d y j ^

    d l → 4 = d y j ^

    Assim, nesses dois casos, o produz escalar é nulo.

    E → ∙ d l → 2 = K y   i ^ ∙ - d y   j ^ = 0

    E → ∙ d l → 4 = K y   i ^ ∙ d y   j ^ = 0

  • Reta 3
  • Na reta 3, E → = 0 → . Portanto E → ∙ d l → 3 = 0 .

  • Reta 1

Nesse caso, o campo elétrico é dado por:

E → = K b   i ^

E o vetor d l → 1 é dado por:

d l → 1 = - d x   i ^

Portanto:

∮ E → ∙ d l → = ∫ E → ∙ d l → 1 = - K b ∫ d x

∮ E → ∙ d l → = - K b a

Passo 2

b ) Além do campo elétrico na região considerada há também um campo magnético uniforme B → t = B t k ^ cuja intensidade depende do tempo. Em t = 0 , B 0 = B 0 . Utilizando a Lei de Faraday na forma integral, determine B t .

A lei de Faraday é dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Na forma integral, podemos reescrever a fem como:

ε = ∮ E → ∙ d l →

Portanto:

∮ E → ∙ d l → = - ∂ ϕ B ∂ t

Essa integral nós já calculamos na letra a , e como a área é constante, o fluxo magnético vai variar apenas de acordo com B t .

- K b a = - A ∂ B t ∂ t

Onde A = b a . Logo:

- K b a = - b a ∂ B t ∂ t

Simplificando essa expressão:

∂ B t ∂ t = K

De acordo com o problema o campo magnético é crescente e tem um valor inicial B 0 , logo, integrando esse cara:

B t = B 0 + K t

Resposta

a )

∮ E → ∙ d l → = - K b a

b )

B t = B 0 + K t

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