A figura mostra uma barra retilínea condutora, de massa m , comprimento L e resistência elétrica R , movendo-se com uma velocidade constante v → ao longo de trilhos condutores, retilíneos horizontais, fixos.

Tal circuito está sob ação de um campo magnético gerado por uma corrente elétrica estacionária i fluindo por um fio retilíneo longo, paralelo à barra e no mesmo plano do circuito.

A resistência dos trilhos, assim como a capacitância e a autoindutância do circuito e a indutância mútua entre o circuito e o fio retilíneo (de corrente i ) podem e devem ser desprezadas.

a Obtenha uma expressão para a corrente elétrica no circuito, I , como função da distância x da barra ao fio, explicitando, ademais, o sentido de tal corrente.

[Sugestão: não precisa deduzir o campo magnético de uma corrente retilínea estacionária, muito longa.]

b Obtenha uma expressão para a taxa temporal de dissipação de energia, pelo efeito Joule, na barra, como função de x .

c Obtenha uma expressão para a força externa que precisa ser aplicada à barra para manter a sua velocidade constante.

Passo 1

a Obtenha uma expressão para a corrente elétrica no circuito, I , como função da distância x da barra ao fio, explicitando, ademais, o sentido de tal corrente.

Vamos por partes... para calcular a corrente elétrica I no circuito, primeiro vamos ter que calcular a f e m induzida ε , de forma que:

I = ε R

A f e m induzida, de acordo com a lei de Faraday, é dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Então vamos precisar calcular o fluxo magnético, definido por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Mas antes, teremos que encontrar a expressão do campo magnético gerado pelo fio de corrente i , que é calculado através da lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Então, no fim, serão mais 4 passos... viu o tamanho do drama?

Mas nós damos conta!

Passo 2

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Por conta da simetria do problema, a amperiana será uma circunferência de raio x , logo:

2 π x B x = μ 0 i

B x = μ 0 i 2 π x

Pela regra da mão direita, na região da espira, o campo magnético está saindo do plano da página.

Passo 3

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

O elemento de área d A será dado por:

d A = L d x '

a ≤ x ' ≤ x

Portanto:

ϕ B = ∫ a x μ 0 i 2 π x ' L d x '

ϕ B = μ 0 i L 2 π ∫ a x d x ' x '

ϕ B = μ 0 i L 2 π ln ⁡ x a

Passo 4

Beleza! Vamos agora calcular a força eletromotriz:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Temos do Passo 3 que:

ϕ B = μ 0 i L 2 π ln ⁡ x a

Logo:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t = - ∂ ∂ t μ 0 i L 2 π ln ⁡ x a

Como μ 0 i L 2 π é constante, podemos tirar da derivada:

ε = - μ 0 i L 2 π ∂ ∂ t ln ⁡ x a

Agora temos que calcular a derivada:

∂ ∂ t ln ⁡ x a = 1 x . x ' ( t )

Mas x ' ( t ) nada mais é que v . Logo:

ε = - μ 0 i L v 2 π x

Passo 5

I = ε R

I = μ 0 i L v 2 π R x

Para determinar o sentido da corrente, vamos ter que recorrer à lei de Lenz, que diz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela quer dizer é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

Vamos calcular, então, a taxa de variação do fluxo magnético:

∂ ϕ B ∂ t = μ 0 i L v 2 π x

∂ ϕ B ∂ t > 0

Assim, o campo magnético induzido deve estar no sentido oposto ao campo magnético gerado pelo fio infinito, ou seja, entrando no plano da página.

Para que o campo magnético induzido entre no plano, é necessário que a corrente esteja no sentido horário.

Passo 6

b Obtenha uma expressão para a taxa temporal de dissipação de energia, pelo efeito Joule, na barra, como função de x .

A “taxa de dissipação de energia” é a mesma coisa que “potência dissipada”, que é dada por:

P = ε 2 R

Logo:

P = 1 R μ 0 i L v 2 π x 2

P = μ 0 2 i 2 L 2 v 2 4 π 2 x 2 R

Passo 7

c Obtenha uma expressão para a força externa que precisa ser aplicada à barra para manter a sua velocidade constante.

Para manter a barra com velocidade constante, a força externa deve ter a mesma direção da força magnética sobre a barra e sentido oposto, de forma que:

F → B + F → e x t = 0 → F → e x t = - F → B

A força magnética sobre a barra é dada por:

F B = I L B

Logo:

F B = μ 0 i I L 2 π x

Substituindo o a expressão de I , teremos:

F B = μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R

F → B = - μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R x ^

Portanto:

F → e x t = - F → B

F → e x t = μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R x ^

Resposta

a

I = μ 0 i L v 2 π R x

A corrente está no sentido horário.

b

P = μ 0 2 i 2 L 2 v 2 4 π 2 x 2 R

c

F → e x t = μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R x ^

Exercícios de Livros Relacionados

17- Use a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida q
20- Uma barra metálica com 1.50   m de comprimento é puxada para
15- Um anel circular está em uma região do espaço onde existe um campo
18- Um tubo de papelão é circundado por dois enrolamentos feitos com d