Considere uma superfície S formada por três quadrados de lado a : A B D C ,   D E H A e E F G H , como é mostrado na figura. O quadrado A B C D é paralelo ao plano x y . Na região da superfície S existe um campo magnético uniforme B → .

  1. Calcule o fluxo magnético através da superfície S para B → = B z t k ^ .
  2. Calcule o fluxo magnético através da superfície S para B → = B x t i ^ .
  3. Considere B → = B x t i ^ com B x t = B 0   c o s ⁡ ( ω t ) . Calcule a integral de linha do campo elétrico ao longo do caminho fechado γ = A B C D E F G H A na fronteira de S percorrido no sentido indicado na figura.

Passo 1

  1. Calcule o fluxo magnético através da superfície S para B → = B z t k ^ .
  2. O fluxo magnético é dado por:

    ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

    Nesse caso, como B é constante:

    ϕ B = B → ∙ A →

    Vamos determinar o sentido do vetor A → através da regra da mão direita, acompanhando o sentido da corrente.

    Assim, usando a regra da mão direita, vemos que, para cada plano, A → terá os seguintes sentidos:

    A 1 → = a 2 k ^

    A 2 → = - a 2 i ^

    A 3 → = - a 2 k ^

    O fluxo magnético total será:

    ϕ B = B → ∙ A 1 → + B → ∙ A 2 → + B → ∙ A 3 →

    ϕ B = B z t k ^ ∙ a 2 k ^ + B z t k ^ ∙ - a 2 i ^ + B z t k ^ ∙ - a 2 k ^

    ϕ B = a 2 B z t + 0 - a 2 B z t

    ϕ B = 0

    Passo 2

  3. Calcule o fluxo magnético através da superfície S para B → = B x t i ^ .
  4. Beleza! Aqui é o mesmo esquema de antes.

    ϕ B = B → ∙ A 1 → + B → ∙ A 2 → + B → ∙ A 3 →

    ϕ B = B x t i ^ ∙ a 2 k ^ + B x t i ^ ∙ - a 2 i ^ + B x t i ^ ∙ - a 2 k ^

    ϕ B = 0 - a 2 B x t + 0

    ϕ B = - a 2 B x t

    Passo 3

  5. Considere B → = B x t i ^ com B x t = B 0   c o s ⁡ ( ω t ) . Calcule a integral de linha do campo elétrico ao longo do caminho fechado γ = A B C D E F G H A na fronteira de S percorrido no sentido indicado na figura.

O problema nos pede para calcular

∮ E → ∙ d l →

Mas, na verdade... nós podemos associar essa integral com a Lei de Faraday. Dá uma olhada:

∮ E → ∙ d l → = - ∂ ϕ B ∂ t

Nós já calculamos o fluxo magnético ϕ B para B → = B x t i ^ no passo anterior. Nós tínhamos encontrado que:

ϕ B = - a 2 B x t

Show! O problema nos disse que B x t = B 0   c o s ⁡ ( ω t ) . Logo:

ϕ B = - a 2 B 0   c o s ⁡ ( ω t )

Agora podemos voltar para Lei de Faraday:

∮ γ E → ∙ d l → = - ∂ ∂ t - a 2 B 0   c o s ⁡ ( ω t )

∮ γ E → ∙ d l → = a 2 B 0 ∂ cos ⁡ ω t ∂ t  

∮ γ E → ∙ d l → = - a 2 ω B 0 sen ⁡ ω t

Resposta

  1. ϕ B = 0

  2. ϕ B = - a 2 B x t

∮ γ E → ∙ d l → = - a 2 ω B 0 sen ⁡ ω t

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