Uma bobina retangular com N voltas, de lados a = 0,1 m e b = 0,2 m e resistência total R = 10 Ω , está contida no plano x y e gira com velocidade angular ω em torno do eixo x . Esta bobina é atravessada por um campo magnético de módulo B = 1 T dirigido ao longo do eixo z , como mostrado na figura 1 . A rotação é iniciada de modo que o plano da bobina seja perpendicular à direção de b em t = 0 s .

A figura 2 mostra o comportamento da tensão induzida na bobina em função do tempo. Utilizando a figura 2 e os outros dados do problema, encontre:

(a) O número de voltas N da bobina retangular;

(b) A taxa máxima de variação do fluxo magnético d ϕ d t através da bobina;

(c) O valor da corrente induzida e seu sentido (horário ou anti-horário) na bobina quando t = 0,05 s ;

(d) A potência média dissipada no resistor.

(Sugestão: em todos os cálculos use π = 3 )

Passo 1

a) Sabemos, pela lei de Lenz, que:

ε i n d = - N d ϕ d t

E sabemos também que:

ϕ = B A c o s θ

Onde o ângulo θ = ω t , sendo ω a rotação angular, logo:

ϕ = B A cos ⁡ ω t

d ϕ d t = - ω B A sen ⁡ ω t

Portanto:

ε i n d = N ω B A sen ⁡ ω t

Quando t = 0 , a tensão induzida também é nula, o que coincide com o gráfico da Figura 2.

Para descobrir o número de voltas, vamos usar o dado da Figura 2, que nos dá o valor máximo da tensão induzida.

Através do gráfico da Figura 2 vemos que o primeiro ponto em que a tensão induzida é nula ocorre em t = 0,1   s , logo:

N ω B A sen ⁡ ω × 0,1 = 0

Como o produto N ω B A é sempre constante:

sen ⁡ 0,1 ω = 0

0,1 ω = π

ω = 10 π

ω = 30   r a d / s

Dessa forma, atingiremos o valor máximo do fluxo quando o ângulo θ for 90 ° , e:

ε i n d , m á x = N ω B A sen ⁡ 90 ° = N   .   30   .   1   .   0,1 .   0,2 .   1 = 36

Logo:

0 , 6 N = 36 → N = 60   v o l t a s

Passo 2

b) A taxa máxima pode ser encontrada facilmente pela Figura 2:

ε i n d . m í n = - 60 d ϕ d t m á x = - 36

d ϕ d t m á x = 0,6   T . m 2 / s

Passo 3

c) Quando t = 0,05   s , pela Figura 2, a bobina estará com sua tensão induzida máxima, portanto:

ε i n d = R I i n d → 36 = 10 I i n d

Logo:

I i n d = 3,6   A

Analisando a fórmula:

ε i n d = - N d ϕ d t

Nesse instante a tensão induzida é positiva, logo, a variação do fluxo será negativa.

Assim, de acordo com a Lei de Lenz, a corrente induzida terá um sentido de forma que o campo magnético auto induzido tende a “ajudar” o campo externo, tendo a mesma direção e sentido.

Utilizando a regra da mão direita, vemos que para isso ser possível, a corrente induzida deve estar no sentido anti-horário.

Passo 4

d) A potência média é dada por:

P = 1 T ∫ 0 T ε i n d 2 R   d t

Portanto, como temos a expressão de V :

P = 1 0,2   .   10   ∫ 0 0,2 60 × 30 × 1 × 0,1 × 0,2 × s e n θ 2   d t

Como ω = 30   r a d / s e:

d t = d θ ω

Substituindo lá:

P = 1 2 ∫ 0 2 π 36 2   s e n 2 θ d θ 30

Logo:

P = 36 2 6 0   θ 2 - sen ⁡ 2 θ 4 0 2 π

P = 36 2 6 0 2 π 2 - 0

P = 67,86   W

Resposta

a) N = 60   v o l t a s

b) d ϕ d t m á x = 0,6   T . m 2 / s

c) I i n d = 3,6   A no sentido anti-horário.

d) P = 67,86   W

Exercícios de Livros Relacionados

17- Use a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida q
20- Uma barra metálica com 1.50   m de comprimento é puxada para
15- Um anel circular está em uma região do espaço onde existe um campo
18- Um tubo de papelão é circundado por dois enrolamentos feitos com d