Considere um solenoide infinito de raio R com n espiras por unidade de comprimento por onde passa uma corrente

I t = I 0 ,     p a r a   t < 0 I 0 1 + α t ,     p a r a   t ≥ 0

onde α é uma constante com dimensão de inverso de tempo.

Dado: o vetor campo magnético do solenoide é B → t = μ 0 n I t k ^ .

a ) Calcule o vetor campo elétrico no exterior do solenoide para t ≥ 0 .

b ) Calcule o vetor campo elétrico no interior do solenoide para t ≥ 0 .

c ) Considere uma partícula com carga q e massa m que, no instante t = 0 , está parada a uma distância r do eixo do solenoide conforme a figura. Calcule o vetor aceleração desta partícula em t = 0 .

Corte transversal

Passo 1

a ) Calcule o vetor campo elétrico no exterior do solenoide para t ≥ 0 .

Aqui vai ser necessário interligarmos alguns conhecimentos que temos sobre a matéria, beleza?

Bom, mesmo que a área transversal da região permaneça constante, a variação do campo magnético com o tempo vai gerar uma variação do fluxo magnético com o tempo, concorda?

De acordo com a lei de Faraday, a variação desse fluxo magnético vai gerar uma f e m induzida, dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Onde ϕ B = ∫ B → ∙ d A → , logo:

ε = - ∂ ∂ t ∫ B → ∙ d A →

Até aqui, tudo bem?

Agora é importante lembrar que nós podemos associar a f e m induzida com o campo elétrico induzido através da relação:

ε = ∫ E → ∙ d r →

Substituindo isso na lei de Faraday, teremos:

∫ E → ∙ d r → = - ∂ ∂ t ∫ B → ∙ d A →

Agora sim, podemos seguir em frente.

Passo 2

∫ E → ∙ d r → = - ∂ ∂ t ∫ B → ∙ d A →

Por conta da simetria do problema, E → = E r θ ^ , onde θ ^ é tangencial à circunferência de raio r e positivo no sentido anti-horário.

Para calcularmos o campo elétrico fora do solenoide, a curva através da qual vamos calcular o campo elétrico deve ter essa cara:

Portanto:

E 2 π r = - ∂ B t ∂ t π R 2

Obs.: A área por onde há fluxo magnético é apenas, nesse caso, a área que corresponde ao interior do solenoide, por isso A = π R 2 .

De acordo com o problema, B → t = μ 0 n I t k ^ . Logo:

E 2 π r = - d I t d t μ 0 n π R 2

E 2 π r = - I 0 α μ 0 n π R 2

E = - I 0 α μ 0 n R 2 2 r

Finalmente:

E → = - I 0 α μ 0 n R 2 2 r θ ^

Passo 3

b ) Calcule o vetor campo elétrico no interior do solenoide para t ≥ 0 .

Aqui, a ideia é bem parecida com o que fizemos no passo anterior.

A diferença é que, agora, como queremos calcular o campo elétrico no interior do solenoide, a curva através da qual vamos calcular o campo elétrico deve ter essa cara:

Agora, como estamos trabalhando com uma região menor que a seção reta do solenoide, vamos considerar o fluxo magnético somente pela região delimitada pela curva C , beleza?

E 2 π r = - ∂ B t ∂ t π r 2

E 2 π r = - d I t d t μ 0 n π r 2

E = - I 0 α μ 0 n π r 2 2 π r

E = - I 0 α μ 0 n r 2

Portanto:

E → = - I 0 α μ 0 n r 2 θ ^

Passo 4

c ) Considere uma partícula com carga q e massa m que, no instante t = 0 , está parada a uma distância r do eixo do solenoide conforme a figura. Calcule o vetor aceleração desta partícula em t = 0 .

Nessa região, existem dois campos presentes, o campo magnético e o campo elétrico.

A força magnética sobre uma carga q é dada por:

F → B = q v → × B →

Ou seja, como a carga está parada, v → = 0 → F → B = 0 .

Passo 5

Assim, não precisamos nos preocupar com a força magnética sobre a partícula, restando apenas a força elétrica, dada por:

F → E = q E →

Como a carga está no interior do solenoide:

E → = - I 0 α μ 0 n r 2 θ ^

Logo:

F → E = - q I 0 α μ 0 n r 2 θ ^

Por último, podemos associar a força com a aceleração através da 2ª lei de Newton:

m a → = F → E

m a → = - q I 0 α μ 0 n r 2 θ ^

Finalmente:

a → = - q I 0 α μ 0 n r 2 m θ ^

Resposta

a )

E → = - I 0 α μ 0 n R 2 2 r θ ^

b )

E → = - I 0 α μ 0 n r 2 θ ^

c )

a → = - q I 0 α μ 0 n r 2 m θ ^

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