Na figura abaixo, o fio retilíneo longo transporta uma corrente i 1 e a espira retangular, de resistência R , transporta uma corrente i 2 nos sentidos indicados. O fio e a espira encontram-se no mesmo plano.

Calcule:

a ) O vetor força magnética resultante que atua sobre a espira;

b ) O fluxo do campo magnético produzido pela corrente i 1 através da área da espira;

c ) Se a corrente i 1 crescer a uma taxa constante d i 1 d t = k , determine o valor e o sentido

da corrente induzida na espira;

Passo 1

a ) O vetor força magnética resultante que atua sobre a espira;

Beleza! A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F → = I L → × B →

Onde L → aponta na direção e sentido da corrente.

O campo magnético B → gerado pela corrente i 1 na espira terá o sentido saindo da página. Assim, o sentido da força magnética sobre cada parte da espira será o seguinte:

Pela geometria do problema, não é difícil ver que F → 2 = F → 4 . Logo, as forças horizontais vão se cancelar. Isso significa que temos apenas que nos preocupar com as verticais.

Assim, vamos calcular somente F → 1 F → 3 e.

Passo 2

  • F → 1
  • O campo magnético no fio 1 é dado por:

    B → 1 = μ 0 i 1 2 π a z ^

    Assim, a força no fio 1 será:

    F → 1 = i 2 L B 1 y ^

    F → 1 = μ 0 i 1 i 2 L 2 π a y ^

  • F → 3

O campo magnético no fio 3 é dado por:

B → 3 = μ 0 i 1 2 π a + b z ^

Assim, a força no fio 1 será:

F → 3 = - i 2 L B 3 y ^

F → 3 = - μ 0 i 1 i 2 L 2 π a + b y ^

Portanto, a força resultante na espira será:

F → = F → 1 + F → 3

F → = μ 0 i 1 i 2 L 2 π   1 a - 1 a + b y ^

F → = μ 0 i 1 i 2 L 2 π   b a a + b y ^

Passo 3

b ) O fluxo do campo magnético produzido pela corrente i 1 através da área da espira;

Por definição, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Aqui, o campo magnético gerado pela corrente i 1 é:

B = μ 0 i 1 2 π r

Além disso, podemos dizer que d A = L   d r . Onde a < r < a + b .

Agora só temos que voltar para a integral:

ϕ B = μ 0 i 1 L 2 π   ∫ a a + b d r r

ϕ B = μ 0 i 1 L 2 π ln ⁡ a + b a

Passo 4

c ) Se a corrente i 1 crescer a uma taxa constante d i 1 d t = k , determine o valor e o sentido

da corrente induzida na espira;

Se está havendo uma variação na corrente i 1 , haverá uma variação no fluxo magnético na espira que, por sua vez, vai gerar uma f e m induzida.

Para calcularmos a corrente induzida, então, vamos calcular a f e m induzida e depois encontrar a corrente induzida através da Lei de Ohm:

ε = R I → I = ε R

Pela Lei de Faraday:

ε = - ∂ ϕ [ B ] ∂ t

Como estamos interessados somente nos valores, não precisamos nos preocupar com esse sinal negativo.

ε = μ 0 L 2 π ln ⁡ a + b a d i 1 d t

ε = μ 0 k L 2 π ln ⁡ a + b a

Assim, a corrente induzida será dada por:

I = μ 0 k L 2 π R ln ⁡ a + b a

Pra fechar, precisamos descobrir o sentido dessa corrente.

Passo 5

De acordo com a Lei de Lenz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Simplificando... a corrente induzida é sempre do contra, se o fluxo magnético através da espira estiver aumentando, a corrente induzida vai gerar um campo magnético no sentido contrário, só pra atrapalhar... se o fluxo magnético estiver diminuindo, a corrente induzida vai gerar um campo magnético a favor.

Já que a corrente i 1 está aumentando, o fluxo magnético através da espira também está aumentando.

Assim, a corrente induzida vai gerar um campo que se oponha a esse aumento. Como o campo magnético na espira tem sentido saindo da página... o campo magnético induzido vai ter sentido entrando na página.

Pela regra da mão direita, para que o campo magnético gerado pela corrente induzida esteja entrando na página, a corrente induzida deve estar no sentido horário.

Resposta

a )

F → = μ 0 i 1 i 2 L 2 π   b a a + b y ^

b )

ϕ B = μ 0 i 1 L 2 π ln ⁡ a + b a

c )

I = μ 0 k L 2 π R ln ⁡ a + b a

A corrente induzida deve estar no sentido horário.

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