Um pedaço de fio condutor ôhmico isolado é torcido de modo a constituir um circuito em forma de oito. Por razão de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunferências de círculo. O raio do círculo superior é a e o do inferior é 2 a . O circuito completo é puramente resistivo (com capacitância e autoindutância desprezíveis), tendo resistência R . A partir de t = 0 um campo magnético uniforme mas não estacionário

B → = C t z ^

Onde C = c o n s t > 0 é aplicado perpendicularmente ao plano dos dois circuitos, conforme mostrado na figura.

  1. Para t > 0 determino o fluxo total através do circuito.
  2. Para t > 0 determine o sentido da corrente elétrica induzida ao longo do fio indicando-o claramente em cada uma das circunferências, seja por intermédio de uma seta, seja pelas expressões horário ou anti-horário.
  3. Para t > 0 determine o módulo da intensidade da corrente elétrica induzida no fio.

Passo 1

O fluxo é dado pela integral:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Onde S é a superfície toda do circuito. Note que quando ele pega um arame normal e “torce” ele passa a ter duas orientações do normal:

Fazendo o fluxo, podemos separar em duas integrais, onde cada uma tem um vetor normal constante. Seja a de raio maior a com d A → = d A z ^ e a outra no sentido de - z ^ .

ϕ B = ∬ r = 2 a B → ∙ d A → + ∬ r = a B → ∙ d A →

ϕ B = ∬ r = 2 a C t z ^ ∙ d A z ^ + ∬ r = a C t z ^ ∙ - d A z ^

Pondo as constantes (digo constantes em relação às variáveis de integração, que são de espaço) para fora:

ϕ B = C t ∬ r = 2 a d A - ∬ r = a d A

Segue:

ϕ B = C t π 2 a 2 - π a 2

ϕ B = C t π 4 a 2 - a 2

ϕ B = 3 C t π a 2

Podemos ver que o fluxo total aumenta com o tempo.

Passo 2

Pela Lei de Lenz, como temos um fluxo aumentando no sentido de z ^ , o efeito induzido vai tentar compensar este fato. Por conta disto, pela regra da mão direita podemos ver que será induzida uma corrente que, no círculo maior, é horária:

Naturalmente, no menor vai ser anti-horária.

Passo 3

Para calcular a intensidade da corrente induzida vamos rodar a Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

E juntar com a Lei de Ohm:

E = R I

De forma que:

I = - 1 R ∂ ϕ B ∂ t

Derivando o fluxo:

∂ ϕ B ∂ t = ∂ 3 C t π a 2 ∂ t

∂ ϕ B ∂ t = 3 C π a 2

O módulo da corrente fica então:

I = 3 C π a 2 R

Resposta

a)

ϕ B = 3 C t π a 2

b)

Anti-horária no menor e horária no maior.

c)

I = 3 C π a 2 R

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