A figura abaixo mostra um trilho condutor com forma de U e de resistência desprezível sobre o qual uma barra curva, na forma de um semicírculo de raio R , desliza sem atrito e com velocidade constante   v → = v   x ^   ( v > 0 ) . Todo o sistema está sobre o plano X Y e sob a ação de um campo magnético constante  B → = B   z ^   ( B > 0 ) . A barra curva possui resistividade ρ e seção transversal constante de área A . Nos cálculos abaixo, escolha o vetor unitário normal ao plano definido pela barra curva e o trilho condutor como    n ^ = z ^ .

  1. Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida na barra em movimento.
  2. Determine a força magnética (módulo, direção e sentido) que o campo magnético exerce sobre a barra devido à corrente induzida.

Passo 1

a) Para resolvermos essa questão, vamos considerar que o vetor área é  A → = A   z ^ e, portanto, está na mesma direção e sentido do campo magnético   B → , como está mostrado na Figura abaixo.

Como colocamos o vetor área nessa direção, então, pela regra da mão direita, o sentido positivo para a corrente será o anti-horário, como indicamos na Figura com uma seta e com o sinal + . Então, depois de fazermos as contas, vamos ver o sinal da corrente induzida I i n d .

Da Figura acima, vemos que área pode ser escrita como

A → = x ( t ) 2 R + π R 2 2   z ^

Agora vamos olhar para o fluxo magnético Φ B . Como o problema diz que o campo é constante, e colocamos   d A → paralelo à   B → , então temos que o fluxo é

Φ B = ∫ S B → ⋅ d A → = ∫ S B d A = B ∫ S d A = B A   .

Substituindo a expressão para A , temos

Φ B t = B 2 R x t + π R 2 2   ,

que depende do tempo, porque o comprimento x ( t ) está aumentando com o tempo.

Bom, se o fluxo está mudando com o tempo, então esperamos que apareça uma fem induzida ε . Vamos calcular isso agora...

Passo 2

a) Continuação...

A fem induzida é

ε = - d Φ B d t = - B 2 R d x t d t + d d t π R 2 2   .

Como o segundo termo dentro do parênteses é constante no tempo e d x t d t = v , que é a velocidade da barra semicircular, a fem induzida é

ε = - 2 R B v < 0   .

Portanto, como a fem induzida é negativa, a corrente induzida I i n d estará no sentido horário, contrário ao sentido positivo ilustrado na Figura.

Falta ainda obtermos o valor dessa I i n d ...Não desanima!!

Agora, como a barra tem resistividade ρ , seção transversal A e comprimento L = π R , e sendo um condutor ôhmico, então sua resistência R b é dada por

R b = ρ π R A   .

A corrente induzida I i n d será, então,

I i n d = ε R b = 2 R B v A π ρ R ⇒ I i n d = 2 B v A π ρ   ,

que está no sentido horário.

Passo 3

b) Como o campo magnético é uniforme, então, a força magnética  F → M atuando sobre a barra semicircular é

F → M = I i n d ∫ d l → × B → = I i n d ∫ d l →   ×   B →   .

Portanto, precisamos calcular a integral ∫ d l → para a barra semicircular. Para isso, considere a Figura abaixo.

Na Figura, escrevemos o vetor   d l → em termos de suas componentes ao longo dos eixos x e y . Repare que, como a corrente I i n d está no sentido horário, então o vetor   d l → deve ser tangente à barra em todos os pontos e deve ter o sentido e direção dados pela corrente naquele ponto. Por isso, desenhamos   d l → apontando para baixo na Figura!! Fica ligado nisso, porque a direção e sentido desse vetor depende do sentido da corrente. Beleza??

Se a gente integra o vetor   d l → , temos

∫ d l →   = R ∫ 0 π cos ⁡ ϕ d ϕ   x ^ - ∫ 0 π s e n ϕ d ϕ   y ^   = - 2 R   y ^ ,

já que a primeira integral logo depois da primeira igualdade é nula. Portanto, substituindo esse resultado na força   F → M , teremos

F → M = - 2 R I i n d   B y ^   ×   z ^   .

Como   y ^   ×   z ^ = x ^ e substituindo I i n d que encontramos no item a), teremos que

F → M = 4 R B 2 A v π ρ   - x ^   .

Resposta

a)   I i n d = 2 B v A π ρ   , sentido horário;

b) F → M = 4 R B 2 A v π ρ   - x ^   .

Exercícios de Livros Relacionados

17- Use a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida q
20- Uma barra metálica com 1.50   m de comprimento é puxada para
15- Um anel circular está em uma região do espaço onde existe um campo
18- Um tubo de papelão é circundado por dois enrolamentos feitos com d