A figura mostra uma espira condutora quadrada de lado a , localizada no plano x y . A espira desloca-se ao longo do eixo x com velocidade de módulo v = d s / d t , onde s é a distância da extremidade esquerda da espira ao eixo y . Tal espira está submetida a um campo magnético variável no espaço e aponta para fora do plano da página e cujo módulo é dado por B x = α x , onde α é uma constante positiva. Nestas circunstancias, determine:

(a) O módulo do fluxo magnético através da espira

(b) O módulo da força eletromotriz induzida na espira

(c) O sentido de circulação da corrente induzida (horário ou anti-horário). Justifique a sua resposta.

Passo 1

Temos que o fluxo magnético sobre a espira é dado por

Φ B = ∫ B → . d A →

Onde B → é o nosso campo magnético que está entrando na folha e d A → é o vetor perpendicular ao elemento de área da espira.

Como a espira está no plano x y , esse vetor de elemento de área aponta na direção fora do plano e é paralelo ao campo magnético. Isso implica que o produto escalar, B → . d A → , vira o produto B d A .

Aqui eu fiz com que B → e d A → tivessem o mesmo sentido de forma que Φ B > 0 . Já que o enunciado pede o módulo do fluxo isso não será problema!

Como vamos integrar ao longo dessa espira quadrada, o nosso elemento de área será dado por d A = d x d y e os limites de integração mostrados abaixo

Φ B = ∫ s s + a d x B ( x ) ∫ 0 a d y

Onde eu setei y = 0 na face de baixo do quadrado. Assim fazendo essas integrais (lembrando que B ( x ) = α x

Φ B = ∫ s s + a d x B ( x ) ∫ 0 a d y = α ∫ s s + a x d x ∫ 0 a d y = α x 2 2 s s + a a

Φ B = α a 2 s + a 2 - s 2

Calculando o termo entre colchetes temos

Φ B = α a 2 2 a s + a 2

Φ B = α a 2 s + α a 3 2

Passo 2

Temos que, pela lei de Faraday, o módulo da força eletromotriz induzida é dado por

ε = d Φ B d t = d d t α a 2 s + α a 3 2

Como no fluxo a única variável que varia no tempo é s  

ε = α a 2 d s d t

Como d s / d t = v

ε = α a 2 v

Passo 3

Vemos que com o passar do tempo a espira vai para uma região onde o campo magnético é mais intenso, o que significa que o fluxo do campo magnético aumenta com o tempo.

Se o fluxo do campo magnético aumenta com o tempo, temos que, pela lei de Lenz, a corrente induzida gerará um campo magnético contrário ao campo magnético externo, ou seja, apontando para dentro da página.

Para gerar um campo que entre na página é necessário que a corrente induzida circule no sentido horário.

Repostas

a) Φ B = α a 2 s + α a 3 2

b) ε = α a 2 v

c) Horário

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