Uma barra metálica horizontal P Q , de comprimento l e massa m , pode escorregar sem atrito sobre dois trilhos verticais condutores, que estão unidos por uma haste horizontal fixa de resistência R . As resistências da barra e do trilho são desprezíveis. O conjunto está em uma região onde há um campo magnético B → = - B z ^ constante (uniforme e estacionário, com B > 0 ).

Suponha que, no instante t = 0 , a barra tenha sido abandonada do repouso e durante seu movimento ela não tenha perdido o contato com os trilhos verticais. Denote por g o módulo da aceleração da gravidade ( g → tem sentido y ^ ). Despreze quaisquer efeitos capacitivos ou indutivos no circuito.

a Determine o sentido da corrente induzida no circuito.

b Calcule a intensidade da corrente induzida no circuito em um instante genérico t , em função de B , l , R e v y . Considere que em t = 0 a barra ocupava a posição y = 0 .

c Determine a força magnética, F → m , (módulo, direção e sentido) atuando na barra, num instante de tempo t , quando a velocidade da mesma tem módulo v y .

d Após algum tempo, a barra entra em movimento uniforme (suponha que esse regime seja atingido antes da barra atingir o solo). Nesse regime, sua velocidade tem módulo v T (velocidade terminal). Obtenha a expressão para v T em termos de B , l , R , m e g .

Passo 1

a Determine o sentido da corrente induzida no circuito.

De acordo com a Lei de Lenz, a corrente induzida vai surgir de forma a se opor à variação do fluxo magnético. Vamos lá!

Nesse caso, como o campo magnético B é constante, o fluxo magnético através da espira é dado por:

ϕ B = B A

Onde A representa a área da mesma.

Conforme a barra cai, a área aumenta e, por consequência, aumenta também o fluxo magnético.

Nesse caso, o campo magnético induzido tentará se opor a esse aumento, estando no sentido oposto do campo magnético externo, logo, no sentido + z ^ .

Assim, para que o campo magnético induzido tenha esse sentido, é necessário que a corrente induzida, de acordo com a regra da mão direita, esteja no sentido anti-horário.

Passo 2

b Calcule a intensidade da corrente induzida no circuito em um instante genérico t , em função de B , l , R e v y . Considere que em t = 0 a barra ocupava a posição y = 0 .

Retomando o raciocínio feito no Passo 1, o fluxo magnético através da espira é dado por:

ϕ B = B A

Onde A representa a área da espira. Neste caso, como em t = 0 , y = 0 , a área da espira será dada por:

A = l y t

De acordo com a Lei de Faraday, a fem induzida será dada por:

E i n d = - ∂ ϕ B ∂ t = - B l d y d t = - B l v y

Finalmente, a intensidade da corrente induzida será dada por:

I i n d = E i n d R = B l v y R

Passo 3

c Determine a força magnética, F → m , (módulo, direção e sentido) atuando na barra, num instante de tempo t , quando a velocidade da mesma tem módulo v y .

A força magnética sobre um condutor retilíneo é dada por:

F → B = I L → × B →

Onde L → é um vetor cujo o módulo é igual ao tamanho da barra, e tem a mesma direção e sentido da corrente. No Passo 1, determinamos que a corrente nesse circuito está no sentido anti-horário, assim, a corrente na barra está no sentido - x ^ .

Logo:

L → = l - x ^

Além disso:

I = I i n d = B l v y R

B → = - B z ^

Dessa forma, teremos:

F → B = B l v y R - l x ^ × - B z ^

F → B = - B 2 l 2 v y R y ^

Passo 4

d Após algum tempo, a barra entra em movimento uniforme (suponha que esse regime seja atingido antes da barra atingir o solo). Nesse regime, sua velocidade tem módulo v T (velocidade terminal). Obtenha a expressão para v T em termos de B , l , R , m e g .

Quando a barra entra em movimento uniforme, a força resultante sobre a mesma deve ser nula. Dessa forma, o módulo da força magnética deve ser igual ao peso:

F B = P

B 2 l 2 v y R = m g

Isolando a velocidade, teremos:

v y = m g R B 2 l 2

Resposta

a Sentido anti-horário.

b

I i n d = B l v y R

c

F → B = - B 2 l 2 v y R y ^

d

v y = m g R B 2 l 2

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