Um solenoide muito longo, coaxial com o eixo z , tem comprimento l , raio R e N espiras no total. O solenoide é colocado no vácuo. Desprezando efeitos de borda, o campo dentro do solenoide é B = μ 0 N I / l , onde I é a corrente através das espiras.

(a) (1,0 ponto) Calcula a indutância L do solenoide. L = μ 0 N 2 π R 2 l

(b) (1,5 ponto) Uma corrente variável no tempo dada por I t = I 0 cos ⁡ ω t percorre o solenoide. Usando a lei de Faraday, calcule o vetor campo elétrico na região r > R , onde r é a distância ao eixo do solenoide.

Passo 1

Vamos, inicialmente, entender qual é a direção do campo elétrico E → . Bem, a lei de Lenz nos diz que a corrente induzida pela variação do campo magnético é contrária a já existente. Afinal de contas, a natureza busca um equilíbrio! Se a corrente induzida tivesse o mesmo sentido da corrente que passa pelas bobinas, elas se somariam e induziriam uma nova corrente na mesma direção, entrando em um ciclo sem fim.

Sabemos, também, que o sentido do campo E → é o mesmo da corrente. Ou seja, o campo elétrico E → induzido irá possuir o mesmo sentido da corrente I ' induzida, que é contrária à original. Vamos visualizar isso na figura abaixo para ficar mais claro!

Passo 2

Temos o sentido, agora precisamos calcular o módulo! Para isso, utilizamos diretamente a lei de Faraday, que diz:

∮ E → ∙ d l →   = - d Φ B d t .

No item (a), calculamos o fluxo Φ B , que é dado por:

Φ B = B π R 2 = μ 0 N I π R 2 l .

Passo 3

Assim sendo, o lado direito da lei de Faraday se torna:

- d Φ B d t = - μ 0 N π R 2 l d I d t .

Substituindo o valor de I = I 0 cos ⁡ ω t , temos:

- d Φ B d t = μ 0 N π R 2 l I 0 ω sin ⁡ ω t .

Passo 4

Do lado esquerdo da lei de Faraday, temos:

∮ E → ∙ d l → = ∮ E d l = E ∮ d l ,

∮ E → ∙ d l → = E 2 π r .

Passo 5

Comparando os dois lados, temos:

E 2 π r = μ 0 N π R 2 l I 0 ω sin ⁡ ω t ,

E = μ 0 N R 2 I 0 ω sin ⁡ ω t 2 l r .

Resposta

O módulo do campo elétrico na região r > R é dado por:

E = μ 0 N R 2 I 0 ω sin ⁡ ω t 2 l r .

Sua direção pode ser vista na figura apresentada no Passo 1.

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