O campo magnético em todos os pontos de uma região cilíndrica de raio R é uniforme e direcionado para dentro da página, variando com o tempo segundo B = K t , onde K é uma constante positiva.

a ) Determine a circulação do campo elétrico, ∮ C E → ∙ d l → , ao longo do círculo C de raio r mostrado na figura, percorrido no sentido anti-horário.

b ) Determine o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) nos pontos P 1 = a , 0 e P 2 = 0 , b da figura, onde a < R e b > R .

Passo 1

a ) Determine a circulação do campo elétrico, ∮ C E → ∙ d l → , ao longo do círculo C de raio r mostrado na figura, percorrido no sentido anti-horário.

A circulação do campo elétrico, pedida pelo problema será justamente a fem induzida, que é determinada pela Lei de Faraday:

ε = ∮ C E → ∙ d l → = - ∂ ϕ B ∂ t

O fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Como o campo magnético está entrando no plano da página:

ϕ B = - B ∬ S d A = - B A = - K t π r 2

Substituindo isso na expressão de ε , teremos:

ε = - ∂ - K t π r 2 ∂ t

ε = K π r 2

Logo:

∮ C E → ∙ d l → = K π r 2

Passo 2

b ) Determine o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) nos pontos P 1 = a , 0 e P 2 = 0 , b da figura, onde a < R e b > R .

Na letra a , encontramos que:

∮ C E → ∙ d l → = K π r 2

Por conta da simetria, tanto E → quando d l → deve estar na direção ϕ ^ .

Agora, o nosso trabalho aqui é aplicar isso a cada caso:

  • P 1 = a , 0
  • Como a < R , teremos:

    ∮ C E → ∙ d l → = E r 2 π a = K π a 2 → E r = K a 2

    Como E → está na direção ϕ ^ , no ponto P 1 , o campo vai apontar no sentido y ^ , logo:

    E → r = K a 2 y ^

  • P 2 = 0 , b

Nesse caso, como b > R :

∮ C E → ∙ d l → = E r 2 π b = K π R 2 → E r = K R 2 2 b

Como E → está na direção ϕ ^ , no ponto P 2 , o campo vai apontar no sentido - x ^ , logo:

E → r = - K R 2 2 b x ^

Resposta

a )

∮ C E → ∙ d l → = K π r 2

b )

E → r = K a 2 y ^

E → r = - K R 2 2 b x ^

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