Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um aro de massa M 1 e raio R 1 é abandonado do repouso no topo de um plano inclinado simultaneamente com outro aro de massa M 2 > M 1 e raio R 2 > R 1 . Os aros rolam sem deslizamento. Qual aro chega primeiro à base do plano inclinado? Dado: I C M a r o = M R 2

(A) O aro com massa maior.

(B) O aro com massa menor.

(C) O aro com maior momento de inércia.

(D) O aro com menor momento de inércia.

(E) Ambos chegam juntos.

Passo 1

Primeiramente vamos apontar as forças

Temos que a única força que exerce torque sobre os aros é a força de atrito estático (já que os aros não deslizam). Esse torque é dado por

τ = F a t R

I α = F a t R

α = F a t R I

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o aro não desliza temos que a aceleração angular se relaciona com a aceleração linear por

a = α R → α = a R

Assim

a R = F a t R I → a = F a t R 2 I

Passo 3

Já o aro não se move na direção perpendicular ao plano inclinado, temos que

N = P c o s θ = M g c o s θ

E a força de atrito é dada por

F a t = μ N = μ M g c o s θ

Passo 4

Dessa forma a aceleração do bloco é dada por

a = F a t R 2 I = μ M g c o s θ R 2 I

Como o momento de inercia do aro é dada por

I a r o = M R 2

Temos

a = μ M g c o s θ R 2 M R 2 = μ g c o s θ

Ou seja, a aceleração do centro de massa do anel não depende nem de sua massa e nem do seu raio, assim os dois anéis têm a mesma aceleração linear e chegam ao mesmo tempo na base da rampa!

Resposta

(E)

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