Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um disco é liberado a partir do repouso do alto de uma superfície inclinada de altura h   =   5   m (medida desde o solo até o ponto mais baixo do disco como mostrado na figura) e rola suavemente sem deslizar até a parte mais baixa da superfície. No primeiro trecho, a superfície é retilínea e forma um ângulo θ = 30 o com a horizontal, como mostrado na figura. Dados: o momento de inércia do disco homogêneo com relação a um eixo que passa pelo centro de massa é I C M = M R 2 2 , onde M é a massa do disco e R é seu raio. Considere g   =   10   m / s 2 .

(a) Calcule a aceleração do centro de massa do disco quando ele ainda se encontra no trecho retilíneo na superfície.

(b) Determine a velocidade do centro de massa quando o disco atinge a parte mais baixa da trajetória.

Passo 1

Na parte retilínea da superfície, percebemos que o disco está submetido às forças gravitacional P x   =   P s e n θ (que aponta ao longo do plano para baixo) e a força de atrito estático (que aponta ao longo do plano para cima) pois a forca P x puxa o disco pelo centro de massa tentando fazer o ponto que toca a rampa deslizar para baixo). O atrito é estático pois o disco rola suavemente de modo que v C M   =   ω R e o ponto que toca a rampa tem velocidade zero.

Portanto, a segunda lei de Newton linear e a segunda lei de Newton angular ficam como mostrado a seguir:

P s e n θ - f s   =   M a C M

R f s   =   I C M α

onde o torque horário é positivo (podemos usar essa definição; é uma escolha que não muda a natureza física do problema). Ficamos com:

P s e n θ - I C M α R =   M a C M

M g s e n θ - M R 2 2 R a C M R = M a C M

Portanto, a C M ( 1   +   1 / 2 )   =   g s e n θ . Com s e n 30 o   =   1 / 2 e g   =   10   m / s 2 , temos que a C M   = 10 3   m / s 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Por conservação de energia, temos a seguir (onde contabilizamos a energia potencial gravitacional pela altura do centro de massa em relação ao solo):

M g ( h   +   R )   =   M g R   +   K

M g h   =   K t r a n s   +   K r o t

M g h = M v C M 2 2 + I C M ω 2 2

M g h = M v C M 2 2 + M R 2 2 ω 2 2

g h = v C M 2 2 + R 2 ω 2 4

g h = v C M 2 1 2 + 1 4

Onde usamos que v C M = ω R .

Temos: v C M = 10 2 3   m / s .

Resposta

(a) a C M   = 10 3   m / s 2

(b) v C M = 10 2 3   m / s

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