Uma esfera de massa 400 g e raio 4 cm é liberada, a partir do repouso, do topo de uma rampa inclinada de 25º com relação à horizontal. A rampa tem comprimento de 2.1 m. A esfera rola sem deslizar até o fim da rampa.

a) Qual é a velocidade angular da esfera no final da rampa?

b) Qual fração da energia cinética da esfera é rotacional?

Passo 1

Quando a gente tinha corpos descendo em planos inclinados, para encontrar a velocidade deles, a gente fazia a conservação da energia mecânica, lembra?

Aqui a ideia vai ser a mesma, só que na nossa energia mecânica, vamos ter também a energia cinética de rotação.

Então, vamos dar uma olhada no movimento e colocar o nosso nível de referência para a energia potencial gravitacional.

Passo 2

Realizando a conservação da energia mecânica teremos:

E i = E f

K T i + K R i + U g i = K T f + K R f + U g f

0 + 0 + m g h c m = m v c m 2 2 + I c m ω 2 2 + 0

Pela tabela, sabemos que o momento de inércia de uma esfera rotacionando ao redor do centro de massa é I = 2 5 m R 2

Com isso teremos:

m g h c m = m v c m 2 2 + 2 m R 2 ω 2 5 * 2

g h c m = v c m 2 2 + R 2 ω 2 5

Passo 3

Em um rolamento sem deslizamento, nós temos a seguinte relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade de rotação:

v c m = ω R

Substituindo, teremos:

g h c m = ω 2 R 2 2 + R 2 ω 2 5

g h c m = 7 10 ω 2 R 2

Pelo desenho do movimento, percebemos que podemos encontrar a altura h c m .

Avaliando o triângulo tracejado em vermelho:

s e n θ = h c m 2,1

h c m = 2,1 s e n θ = 2,1 s e n 25 º = 0,89 m

Agora é só substituir os valores!

ω 2 = 10 7 * g h c m R 2 = 10 7 * 9,8 * 0,89 0,04 2 = 7744,64

ω = 88   r a d / s

Passo 4

Agora falta responder a letra b).

Podemos encontrar a energia cinética total.

K t o t a l = K T + K R = m v c m 2 2 + I c m ω 2 2

Realizando as substituições, teremos:

K t o t a l = m ω 2 R 2 2 + 2 5 * m R 2 ω 2 2 = 7 10 m ω 2 R 2

Sendo que a energia cinética de rotação é dada por:

K R = 2 5 * m R 2 ω 2 2 = m R 2 ω 2 5

Portanto, a fraça de energia cinética que é energia cinética rotacional é dada por:

K R K t o t a l = m R 2 ω 2 5 7 10 m ω 2 R 2 = 2 7

Resposta

a)

ω = 88 r a d / s

b)

K R K t o t a l = 2 7

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