Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma roda homogênea é constituída por um disco maciço, uniforme, de massa m , com um orifício de raio externo R e raio interno r . Há um eixo encaixado nele rigidamente (veja a figura).

O eixo que passa pelo orifício é cilíndrico, maciço, homogêneo, tem raio r e a mesma massa m . O momento de inércia do conjunto roda-eixo em relação ao centro de massa do eixo é I . A roda está inicialmente em repouso no alto de uma rampa que faz um ângulo θ , pequeno, com a horizontal. Essa rampa possui um sulco aberto e largo no qual a roda se encaixa, sem tocá-la. O eixo está apoiado na rampa.

Após ser liberada, a roda rola suavemente, sem deslizamento, para baixo com seu centro de massa descendo uma distância D .

  1. Determine uma expressão literal para o valor da velocidade angular da roda no final da distância D , em função dos dados citados. Sugestão: faça por energia.
  2. Determine uma expressão literal para o valor da força de atrito estático sobre da roda durante a descida em função dos dados citados.

Passo 1

Primeiro detalhezinho aqui é ver que a massa que vamos usar é a massa total do sistema (roda + eixo), ou seja, 2 m .

Depois da roda ter deslocado uma distância D na rampa, houve uma variação de altura dada por

Δ y = - D s e n θ

E a variação de energia potencial gravitacional seria dada por

Δ U = 2 m g Δ y = - 2 m g D s e n θ

Já a variação de energia cinética é dada por

Δ K = K f - K i = K f - 0 = 1 2 I ω 2 + 1 2 2 m v 2

Onde K i = 0 , pois a roda é solta do repouso.

Por conservação de energia temos que

Δ U + Δ K = 0

- 2 m g D s e n θ + 1 2 I ω 2 + 1 2 2 m v 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos um rolamento sem deslizamento, temos

v = ω r

Assim

- 2 m g D s e n θ + 1 2 I ω 2 + 1 2 2 m ( ω r ) 2 = 0

Isolando a frequência ω

ω 2 1 2 I + m r 2 = 2 m g D s e n θ

ω = 2 m g D s e n θ I / 2 + m r 2

Passo 3

Primeiramente vamos apontar todas as forças!

Bem, normalmente calcularíamos a força de atrito usando

F a t = μ N

Só que não temos o coeficiente de atrito μ ! Então vamos ter que achar a força de atrito por outro meio.

E como vamos fazer isso? A dinâmica da nossa roda é alterada pela força de atrito.

A segunda lei de Newton para translação ao longo da rampa fica

2 m a = 2 m g s e n θ - F a t

Então para achar a força de atrito basta achar a aceleração!

Passo 4

Agora vamos escrever a segunda lei para rotações. Como a força peso e a normal não exercem torque (pois apontam na direção do centro de massa), temos

τ = I α

r F a t = I α

Como a roda rola sem deslizamento podemos relacionar a aceleração linear com a aceleração angular por

α r = a → α = a r

Assim

r F a t = I a r → a = r 2 F a t I

E podemos substituir essa aceleração na segunda lei de Newton

Passo 5

2 m a = 2 m g s e n θ - F a t → 2 m r 2 F a t I = 2 m g s e n θ - F a t

F a t 1 + 2 m r 2 I = 2 m g s e n θ

F a t = 2 m g s e n θ 1 + 2 m r 2 I

E tadááá! Aí a nossa resposta ;)

Resposta

(A) ω = 2 m g D s e n θ I / 2 + m r 2

(B) F a t = 2 m g s e n θ 1 + 2 m r 2 I

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