Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Passo 1

a)

Para provarmos que essa série converge, vamos utilizar o teste da comparação. Como a sequência de b k é limitada podemos afirmar que ela possui um limite superior que chamaremos de s . Dessa forma podemos afirmar que.

b k ≤ s

a k b k ≤ a k s

Como s é uma constante, nós podemos afirmar que ∑ k = 1 ∞ a k s converge. Logo, pelo teste da comparação.

∑ k = 1 ∞ a k b k   c o n v e r g e

Passo 2

b)

O teste da comparação só pode ser utilizado quando a série possui somente elementos não-negativos. Caso não tivéssemos a limitação nós não poderíamos afirmar nada sobre a convergência dessa série. Lembra que nós só sabemos afirmar coisas em série com elementos negativos se for uma série alternada bonitinha. Se for uma série que só possui elementos negativos desorganizados não poderíamos afirmar nada.

Passo 3

c)

Para resolver essa questão nós vamos utilizar o teste da raiz. Pelo teste da raiz, nós podemos falar que como a nossa série ∑ k = 1 ∞ a k converge então.

lim k → ∞ ⁡ a k 1 k = L ,     0 ≤ L < 1

Vamos guardar essa informação e tentar resolver a série ∑ k = 1 ∞ a k 2 pelo teste da raiz.

lim k → ∞ ⁡ a k 2 1 k = lim k → ∞ ⁡ a k 2 k = lim k → ∞ ⁡ a k 1 k lim k → ∞ ⁡ a k 1 k = L 2

Como quando 0 ≤ L < 1 temos 0 ≤ L 2 < 1 , temos que a série ∑ k = 1 ∞ a k 2 converge.

Resposta

b) não

c) sim

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