9 - Determine se a série converge ou diverge.

g) ∑ n = 1 ∞ n 3 n + 1 n

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ n 3 n + 1 n converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para determinar a convergência dessa série podemos aplicar o teste da raiz!

Dada uma série ∑ n = 1 ∞ a n calculamos o limite

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

Assim, se L < 1 a serie converge, se L > 1 a série diverge e se L = 1 não podemos afirmar nada...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

No nosso caso a n = n 3 n + 1 n , então

lim n → ��� ⁡ a n 1 n → lim n → ∞ ⁡ n 3 n + 1 n 1 n

Simplificando os expoentes

lim n → ∞ ⁡ n 3 n + 1

Dividindo todos os termos por n , chegamos em

lim n → ∞ ⁡ n n 3 n n + 1 n

lim n → ∞ ⁡ 1 3 + 1 n

Fazendo n tender a temos que o termo 1 / n tende a 0 já que temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande...

lim n → ∞ ⁡ 1 3 + 1 n = 1 3 + 0 = 1 3

Assim vemos que L = 1 3 e como L < 1 a série ∑ n = 1 ∞ n 3 n + 1 n converge pelo teste da raiz!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Converge pelo teste da raiz

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]