Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n ! 10 n

Passo 1

Claro, vou refazer a análise da série ∑ n = 1 ∞ n ! 10 n

com mais detalhes.

Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o teste da razão.

O teste da razão afirma que se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L  

então a série ∑ n = 1 ∞ a n converge se L   <   1 e diverge se L   >   1 ou se o limite não existir.

Vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 10 n + 1 n ! 10 n  

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 10 n + 1 ⋅ 10 n n ! = lim n → ∞ ⁡ n + 1 10

Passo 2

Aqui, estamos comparando o termo a n + 1 com o termo a n da série.

Agora, observe que o limite é:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 10 = ∞

Quando o limite da razão é igual a , isso significa que a série não converge para um valor finito, e, portanto, a série ∑ n = 1 ∞ n ! 10 n diverge.

Portanto, a série ∑ n = 1 ∞ n ! 10 n diverge.

Resposta

Diverge.

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37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]