Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n 10 10 n

Passo 1

Para determinar se a série ∑ n = 1 ∞ n 10 10 n

converge ou diverge, podemos usar o teste de razão.

Vamos aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 10 10 n + 1 n 10 10 n

Podemos simplificar essa expressão:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 10 10 n + 1 n 10 10 n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 10 10 n + 1 ⋅ 10 n n 10

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 10 10 n 10

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 10 10

= 1 10

Passo 2

Agora, observe que o limite é 1 10 , que é uma constante positiva.

De acordo com o teste da razão, se o limite acima for menor do que 1, então a série ∑ n = 1 ∞ a n converge.

Neste caso, 1 10 < 1 , o que indica que a série ∑ n = 1 ∞ n 10 10 n converge.

Portanto, a série ∑ n = 1 ∞ n 10 10 n converge.

Resposta

Converge.

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