Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n 2 e - n

Passo 1

Falai meus amores, bora resolver essa comigo?

Para determinar se a série infinita

∑ n = 1 ∞ n 2 e - n

converge ou diverge, podemos usar o teste de comparação ou o teste da razão.

Vamos utilizar o teste da razão neste caso.

O teste da razão envolve calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:

Limite quando n tende ao infinito de a n + 1 a n

onde a n representa o termo geral da série.

No nosso caso, a n   =   n 2   *   e - n ,   e   a n + 1   =   n + 1 2   *   e - n + 1 .

Agora, vamos calcular a razão:

a n + 1 a n = n + 1 2 *   e - n + 1 n 2 *   e - n

Podemos simplificar isso:

a n + 1 a n =   n + 1 2 n 2 *   e - n + 1 e - n

Passo 2

Agora, avaliemos o limite à medida que n tende ao infinito:

Limite quando n tende ao infinito de a n + 1 a n = Limite quando n tende ao infinito de

n + 1 2 n 2 *   e - n + 1 e - n

Vamos dividir as partes e calcular os limites separadamente:

Limite quando n tende ao infinito de n + 1 2 n 2 :

Isso é igual ao limite quando n tende ao infinito de n 2 +   2 n   +   1 n 2 .

Quando n tende ao infinito, os termos de ordem inferior não têm influência significativa, e o limite é igual a 1.

Limite quando n tende ao infinito de e - n + 1 e - n :

Passo 3

Isso é igual ao limite quando n tende ao infinito de e - n * e - 1 e - n

Aqui, a parte e - 1 é uma constante, e o limite de e - n e - n é 1.

Agora, multiplicamos os dois limites:

1   *   1   =   1

O resultado é 1, o que significa que a série ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n     converge.

Portanto, a série converge de acordo com o teste da razão.

Resposta

Converge.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]