Exercício 18. Enuncie o critério da raiz. Use o critério da raiz para verificar se a série

∑ n = 1 ∞ 2 n + 6 5 n - 2 n

é convergente.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 1 ∞ 2 n + 6 5 n - 2 n e nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente...

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para esse caso, como temos um expoente n 2 , podemos aplicar o teste da raiz.

O teste da raiz consiste em calcular o limite de a n como

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

Dessa forma, se L < 1 a série converge.

Se L > 1 a série diverge.

Mas se L = 1 nada se conclui.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos que a n = 2 n + 6 5 n - 2 n .

Aplicando o teste da raiz, chegamos em

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 6 5 n - 2 n 1 n

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 6 5 n - 2

Dividindo todos os termos por n , temos

lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 6 n 5 n n - 2 n

lim n → ∞ ⁡ 2 + 6 n 5 - 2 n

Dessa forma, conforme n tende a , os termos 6 n e 2 n tendem a 0 ...

lim n → ∞ ⁡ 2 + 6 n 5 - 2 n = 2 + 0 5 - 0 = 2 5

E como esse resultado é menor que 1 , podemos dizer que a série ∑ n = 0 ∞ 2 n + 6 5 n - 2 n converge!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Converge

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]