Exercício 11 Verifique quais das series abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

c) ∑ k = 1 + ∞ 1 k !

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos determinar se a série dada por ∑ k = 1 + ∞ 1 k ! é convergente ou divergente.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, como temos um fatorial no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.

O teste da razão de uma série ∑ k = 0 ∞ a k consiste em calcular o limite de a k + 1 a k , ou seja

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k

Para a série convergir, temos que ter lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k < 1

Se lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k > 1 a série diverge.

Mas se lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = 1 não podemos afirmar nada.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ k = 0 ∞ 1 k !

Aplicando o teste da razão chegamos em

lim k → ∞ ⁡ 1 k + 1 ! · k ! 1

Simplificando...

lim k → ∞ ⁡ 1 k + 1 · n ! · k ! 1

lim k → ∞ ⁡ 1 k + 1

Fazendo k → ∞ , chegamos em

lim k → ∞ ⁡ 1 k + 1 = 0

Como esse resultado é menor que 1 a série converge!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Converge.

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]