Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

g) ∑ n = 0 ∞ n n + 1 n 2 ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 0 ∞ n n + 1 n 2 e nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente...

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para esse caso, como temos um expoente n 2 , podemos aplicar o teste da raiz.

O teste da raiz consiste em calcular o limite de a n como

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

Dessa forma, se L < 1 a série converge.

Se L > 1 a série diverge.

Mas se L = 1 nada se conclui.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos que a n = n n + 1 n 2 .

Aplicando o teste da raiz, chegamos em

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n 2 1 n

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n

Você lembra desse limite de algum lugar? 🤔🤔

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

lim x → ∞ ⁡ x x + a x = a e

Porém nesse caso x = n e a = 1 , ou seja

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n = 1 e

E como esse resultado é menor que 1 , podemos dizer que a série ∑ n = 0 ∞ n n + 1 n 2 converge!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Converge

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]