Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

j) ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 0 ∞ 2 n - 1 n e nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente...

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para esse caso, como temos um expoente n 2 , podemos aplicar o teste da raiz.

O teste da raiz consiste em calcular o limite de a n como

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

Dessa forma, se L < 1 a série converge.

Se L > 1 a série diverge.

Mas se L = 1 nada se conclui.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos que a n = 2 n - 1 n .

Aplicando o teste da raiz, chegamos em

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 n 1 n

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1

Podemos reescrever esse limite como

lim n → ∞ ⁡ 2 1 n - 1

Dessa forma, conforme n tende a , o termo 1 n tende a 0 e, portanto, 2 1 n tende a 1 ...

lim n → ∞ ⁡ 2 1 n - 1 = 2 0 - 1 = 1 - 1

lim n → ∞ ⁡ 2 1 n - 1 = 0

E como esse resultado é menor que 1 , podemos dizer que a série ∑ n = 0 ∞ 2 n - 1 n converge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]