(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)

m)

∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n 1,25 n

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n 1,25 n converge ou diverge.

Para podermos prosseguir, vamos primeiro fazer algumas adaptações no somatório:

∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n 1,25 n = ∑ n = 1 ∞ 2 1,25 n + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1,25 n

Podemos prosseguir fazendo o primeiro somatório pelo Teste da Razão e, o segundo, pelo Teste da Raiz.

Passo 2

Mas o que é o Teste da Razão?

Então... O Teste da Razão diz que se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o que vem depois dele.

Então, temos que:

Passo 3

E o Teste da Raiz?

Então... O Teste da Raiz diz que se sendo ∑ a n uma série, assumimos que a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 / n = L .

Caso esse limite L exista, então:

Ou seja, igual ao Teste da Razão!!

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 4

Assim, utilizando o Teste da Razão para o primeiro Somatório, temos:

lim n → ∞ ⁡ 2 1,25 n + 1 2 1,25 n =

= lim n → ∞ ⁡ 2 1,25 n * 1,25 2 1,25 n ∴

= 4 5

Assim, a série converge pelo Teste da Razão.

Passo 5

Agora, aplicando o Teste da Raiz para o segundo somatório, temos:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 1,25 n n ∴

= lim n → ∞ ⁡ - 1 1,25 n n ∴

= lim n → ∞ ⁡ - 1 1,25 ∴

= 4 5

Dessa forma, a série converge pelo Teste da Raiz!

Como ambas as séries convergem, então a junção delas também resulta em uma série convergente!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]