Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2013.1, Questão ME06

Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. Se uma função f :   R 2 R possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.
  2. Uma função f :   R 2 R diferenciável em x 0 , y 0 pode não ter plano tangente em x 0 , y 0 , f x 0 , y 0
  3. Toda função f :   R 2 R continua em um ponto P é diferenciável em P .
  4. A função f x , y = x 2 + y 2 tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto 0,0 .
  5. Para provar que uma função f :   R 2 R é continua em x 0 , y 0 , basta provar que lim x , y x 0 , y 0 f x , y existe sobre todas as retas que passam por x 0 , y 0
  6. Nenhuma das demais alternativas é verdadeira.

Passo 1

Vamos analisar cada alternativa

a)

Lembra que vimos os três teoremas sobre diferenciabilidade?

  1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
  2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
  3. Se f x e f y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Então ela é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Para achar o plano tangente precisamos achar o vetor normal que leva em conta as derivadas parciais. Dessa forma se ela tem as derivadas parciais no ponto ela tem plano tangente.

Então é falso essa afirmação.

Passo 3

c)

As regras de diferenciabilidade estão ali no passo 1, podemos ver que isso não é verdade.

Entao essa afirmação é falsa.

Passo 4

d)

A primeira coisa a fazer para achar a derivada direcional é calcular o vetor gradiente.

f = 2 x 2 x 2 + y 2 , 2 y 2 x 2 + y 2

O vetor gradiente não existe em 0,0 , logo a afirmação é falsa.

Passo 5

e)

Isso só nos dá um indicio que o limite pode existir, uma função pode apesar desse indicio não ter limite. Afirmação falsa.

Resposta

Alternativa (a)

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