A profundidade de um lago em um ponto com coordenadas x ,   y é dada por f x ,   y = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3 com x , y   e   f x , y em metros. Um barco parte do ponto 90 , - 40 em direção a uma boia no ponto 10,20 .

A água sob o barco está ficando mais .... , pois a derivada direcional de f em ( 90 , - 40 ) em direção à boia é ..... de aproximadamente ....

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O enunciado deu uma função f x ,   y = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3 , disse que ele parte de um ponto e vai em direção a outro. E aí ele pede a derivada direcional!

Então a ideia aqui é: achar o vetor (tem que ser unitário!) que dá a direção que o problema pede a taxa de variação da água e verificar se nesse ponto a água tá aumentando (derivada direcional positiva), diminuindo (derivada direcional negativa) ou se a água está estacionada (derivada direcional nula).

Como relembrar é viver: a derivada direcional de alguma função f na direção de v → é:

∂ f ∂ v → = ∇ f ⋅ v →

Mas calma que vou fazer passo a passo!

Vamos nessa?

Passo 2

Começando pelo vetor que vai dar a direção da nossa derivada. O ponto inicial é ( 90 , - 40 ) e o ponto final é ( 10,20 ) então o vetor é:

v → = 10,20 - 90 , - 40 = ( - 80,60 )

Mas lembrando que ele precisa estar normalizado. Então vamos calcular a norma desse vetor e dividir as coordenadas:

v → = - 80 2 + 60 2 = 1000 = 100

E daí o vetor normal é:

v → = - 80 100 i ^ + 60 100 j ^ = - 4 5 ; 3 5

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente da função f e depois aplicar no ponto ( 90 , - 40 ) :

  f x ,   y = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3

∇ f = ( 0,04 x ; - 0,003 y 2 )

E agora aplicando no ponto:

∇ f 90 , - 40 = 0,04 . 90 ;   - 0,003 - 40 2 = ( 3,6 ; 4,8 )

Tranquilo?

Passo 4

Com os dois vetores, podemos fazer o produto escalar entre eles! Essa vai ser nossa derivada direcional no ponto dado:

∂ f ∂ v → = ∇ f ⋅ v → = 3,6 ; 4,8 ⋅ - 4 5 ; 3 5 = - 3,6 . 4 5 + 4,8 . 3 5 = 0  

Isso mesmo! A derivada direcional deu zero! Isso significa que o nível de água está constante nessa direção! Nem aumentando, nem diminuindo!

Então as respostas que completam a frase são: nula, zero.

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

n u l a ,   z e r o

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas