Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Derivadas Direcionais

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto x 0 , y 0 tal que

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 1

E

D 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = 0

Quanto vale D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0

  1. - 2
  2. 2
  3. - 1
  4. 2 / 2
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Para a derivada direcional

D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0

Vamos ter

u = - 2 2 , 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular módulo do vetor v :

u = - 2 2 2 + 2 2 2

⇒ u = 2 4 + 2 4

⇒ u = 1

⇒ u = 1

Passo 3

Calcular vetor gradiente:

∇ f x , y , = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Nesse caso nao temos a função para derivar então vamos direto para o vetor gradiente no ponto P

Calcular vetor gradiente no ponto P :

⇒ ∇ f x 0 , y 0 = ∂ ∂ x f x 0 , y 0 ,   ∂ ∂ y f x 0 , y 0

⇒ ∇ f x 0 , y 0 = 1 ,   ∂ ∂ y f x 0 , y 0

Precisamos de

∂ ∂ y f x 0 , y 0

Vamos calcular aquela derivada direcional que ele deu o valor no enunciado, D 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 .

Passo 4

Dessa vez

v = 2 2 , 2 2

Calcular módulo do vetor v :

v = 2 2 2 + 2 2 2

⇒ v = 2 4 + 2 4

⇒ v = 1

⇒ v = 1

Passo 5

Calcular vetor gradiente:

∇ f x , y , = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Nesse caso não temos a função para derivar então vamos direto para o vetor gradiente no ponto P

Calcular vetor gradiente no ponto P :

⇒ ∇ f x 0 , y 0 = ∂ ∂ x f x 0 , y 0 ,   ∂ ∂ y f x 0 , y 0

⇒ ∇ f x 0 , y 0 = 1 ,   ∂ ∂ y f x 0 , y 0

Passo 6

Calcular derivada direcional de v , mas lembre-se que sabemos o valor dela nessa direção!!

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

⇒ 0 = 1 ,   ∂ ∂ y f x 0 , y 0 ⋅ 2 2 , 2 2 1

⇒ 0 = 2 2 + 2 2 ∂ ∂ y f x 0 , y 0

⇒ 2 2 ∂ ∂ y f x 0 , y 0 = - 2 2

∂ ∂ y f x 0 , y 0 = - 1

Passo 7

Agora voltando aonde paramos no passo 2

⇒ ∇ f x 0 , y 0 = 1 ,   ∂ ∂ y f x 0 , y 0

⇒ ∇ f x 0 , y 0 = 1 ,   - 1

Passo 8

Calcular derivada direcional de u

D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ u u  

⇒ D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = 1 ,   - 1 ⋅ - 2 2 , 2 2 1

⇒ D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = - 2 2 - 2 2

⇒ D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = - 2

Alternativa (a)

Resposta

Alternativa (a)

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