Em que direção a derivada de f x , y = x y + y 2 em P ( 3,2 ) é zero?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema pede em que direção a derivada de f é zero. Então queremos que a derivada direcional de f na direção do vetor (que ainda não conhecemos) v → seja zero. Bom, pra resolver essa questão a gente precisa lembrar da definição de derivada direcional:

∂ f ∂ v = ∇ → f ⋅ v → v →

É o produto escalar do vetor gradiente (aplicado no ponto que a gente quer) com o vetor (normalizado) da direção que queremos. O nosso problema nos dá a função e o ponto, e pede a direção do vetor.

Então os passos pra resolver essa questão são:

- achar o gradiente da função e aplicar no ponto dado;

- determinar um vetor qualquer v → e fazer o produto escalar entre eles

- por fim, igualar a zero e ver o que se acha!

Cola comigo e vamos lá!

Passo 2

A função f é:

f x , y = x y + y 2

Aí o gradiente é:

∇ → f = ∂ ∂ x f   i ^ + ∂ ∂ y f   j ^ = y   i ^ + x + 2 y j ^

E agora aplicando no ponto P ( 3,2 ) temos:

∇ → f = 2 i ^ + 3 + 2.2 j ^ = 2 i ^ + 7 j ^

Beleza até aqui?

Passo 3

Um vetor v → qualquer pode ser o v → = a i ^ + b j ^ e o produto escalar do vetor v → com o gradiente aplicado no ponto é a multiplicação (componente a componente) dos dois vetores:

∇ → f ⋅ v → = 2,7 ⋅ a , b = 2 a + 7 b

E esse produto tem que ser zero, daí temos a condição que:

2 a + 7 b = 0

E aqui temos várias opções! Duas opções são:

a = - 7 b = + 2

Ou

a = + 7 b = - 2

Mas esse vetor precisa estar normalizado (e pra isso o sinal não interessa, a normalização independe do sinal =D). O módulo é:

v → = - 7 2 + + 2 2 = 53

E aí o vetor normalizado cuja direção nos dá a derivada nula é:

n 1 → = - 7 53 , + 2 53  

Ou

n 2 → = + 7 53 , - 2 53

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

n 1 → = - 7 53 , + 2 53   o u     n 2 → = + 7 53 , - 2 53  

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas